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Blatt 1

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Dr. Karoline Disser, Dr. Florian Zanger
8. April, Sommersemester 2015
Lineare Algebra I, Aufgabenblatt 1
Aufgabe 1.1
(4 Punkte) Ebenen
a) Finden Sie für die durch eine beschreibende lineare Gleichung gegebene Ebene
E = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ; 8x1 + 3x2 − x3 = 1
eine Parametrisierung.
b) Finden Sie für die in Parameterdarstellung gegebene Ebene
E = (1, 2, 4) + R · (0, 1, 1) + R · (1, 0, 1)
eine beschreibende lineare Gleichung.
c) Kann es zu einer in Parameterdarstellung gegebenen Ebene mehrere beschreibende lineare Gleichungen geben? Begründen Sie Ihre Antwort.
(4 Punkte) Entscheiden Sie für jede der folgenden Matrizen, ob sie gemäÿ der Denition
aus der Vorlesung in Zeilenstufenform ist oder nicht. Wenn ja, geben Sie m, n, r und j1 , . . . , jr
an.


Aufgabe 1.2

2
a) 0
0

1
e) 1
3
Aufgabe 1.3
0
0
0
0
2
−1
1
0
3

0
0
2

0
0
5
b) 0

0
0
f) 
0
0
0
5
0
0
0
2
0
0
0

1
c) 0
0

1
2

0
0
2
0
0
3
0
0

4
1
0
5
3
g)  0 
0
2 3
0 0
d) 
0 1
3
0 0

7 6 5
h) 0 13 0
0 0 0
4
5

6
7

4
3
2
(4 Punkte) Lineare Unabhängigkeit zweier Vektoren
a) Zeigen Sie, dass für zwei Punkte v, w ∈ Rn die folgenden Bedingungen äquivalent sind:
(i) v 6= 0 und es gibt kein ρ ∈ R mit w = ρ · v .
(ii) w =
6 0 und es gibt kein σ ∈ R mit v = σ · w.
(iii) Sind λ, µ ∈ R mit λv + µw = 0, so folgt daraus λ = µ = 0.
b) Erfüllen zwei Punkte v, w ∈ Rn eine und damit alle der Bedingungen aus A 1.3a, so nennt man
sie linear unabhängig. Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Behauptung: Sind u, v, w ∈
Rn gegeben mit u, v linear unabhängig und v, w linear unabhängig, so sind auch u, w linear
unabhängig.
(4 Punkte) Berechnen Sie den Page Rank der wie folgt verlinkten Web-Sites S1 , S2 , S3
17
. Falls Ihnen das Rechnen
und S4 unter Verwendung eines Damping-Faktors von d = 0, 85 = 20
mit den beim Lösen des Gleichungssystems auftretenden Brüchen zu aufwändig ist, so können
Sie auch mit auf drei Nachkommastellen gerundeten Dezimalzahlen rechnen.
Aufgabe 1.4
S1 o
> S2
~
S3 o
S4
Einwurf mit Deckblatt geheftet bis 15.04.15, 10:20 in die Briefkästen gegenüber von Raum 25.22.00.58
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