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Dr. F. Stoll
N. Stein
¨
1. Ubungsblatt
zur Vorlesung
Prof. Dr. U. Semmelmann
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I
Winter 2014/15
Aufgabe P 1.
Vor Ihnen liegen folgende Karten, die auf der einen Seite mit einem Buchstaben, auf der anderen
Seite mit einer Zahl beschriftet sind:
LAAG 2 0 1 4
Welche dieser acht Karten m¨ussen Sie auf jeden Fall umdrehen, um den Wahrheitwert der
folgenden Aussage festzustellen?
Wenn auf der einen Seite einer Karte ein Vokal steht, dann ist die Zahl auf der
anderen Seite ungerade.
Aufgabe P 2.
(a) Zeigen Sie per vollst¨andiger Induktion: f¨ur x ∈ R und n ∈ N gilt
(x − 1)(1 + x + x2 + x3 + · · · + xn−1 ) = xn − 1.
(b) Sei n ∈ N. Zeigen Sie: ist 2n − 1 eine Primzahl, dann ist n prim.
Aufgabe P 3.
Zeigen Sie per vollst¨andiger Induktion:
Sei n eine nat¨urliche Zahl. Man nehme alle nichtleeren Teilmengen der Menge {1, . . . , n} der
nat¨urlichen Zahlen von 1 bis n. F¨ur jede dieser Teilmengen bilde man das Produkt aller Elemente
und nehme den Kehrwert. Summiert man alle diese Kehrwerte auf, dann erh¨alt man n.
Beispiel: F¨ur n = 3 w¨urde das also so funktionieren:
Die nichtleeren Teilmengen sind {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.
Die zugeh¨origen Produkte sind (in dieser Reihenfolge): 1, 2, 3, 2, 3, 6, 6, und die Kehrwerte
1 1 1 1 1 1 1
, , , , , , . Aufsummiert erh¨alt man
1 2 3 2 3 6 6
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + =3
1 2 3 2 3 6 6
Aufgabe P 4.
Zwei ganze Zahlen a, b ∈ Z heißen kongruent modulo n ∈ Z, falls ein k ∈ Z existiert, sodass
a = b + kn ist. Man schreibt in diesem Fall a ≡ b mod n. Zeigen Sie:
(a) Seien a, b ∈ Z. Ist a ≡ 1 mod 3 und b ≡ 1 mod 3, dann ist ab ≡ 1 mod 3.
(b) Es gibt unendlich viele Primzahlen p, welche p ≡ 2 mod 3 erf¨ullen.
Hinweis: Argumentieren Sie mit Hilfe eines Widerspruchsbeweises: Nehmen Sie an, es gibt
nur endlich viele solche Primzahlen p1 , p2 , . . . , pk . Betrachten Sie dann die Primfaktorzerlegung von n = 3p1 p2 · · · pk − 1.
¨
1. Ubungsblatt
Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Haus¨
ubungen (Abgabe in der n¨achsten Gruppen¨ubung):
Tipp: Wir haben ein Merkblatt: Wie erstelle ich eine sch¨
one Abgabe erstellt, das Sie auf
der Homepage zur Vorlesung herunterladen k¨onnen. Es lohnt sich, dieses Blatt zu beachten!
Aufgabe H 1. 2 Punkte
¨
Seien A, B und C Aussagen. Uberpr¨
ufen Sie, ob die folgende Aussage eine Tautologie ist,
d. h. immer wahr ist, unabh¨angig vom Wahrheitswert von A,B und C:
((A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C)) → ((A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C) ∧ (B ∨ C))
Aufgabe H 2. 4 Punkte
¨
Uberpr¨
ufen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen und negieren Sie die Aussagen:
(a) ∀n ∈ N ∃p ∈ N ∀k ∈ N : ((p > n) ∧ (k | p → k ∈ {1, p}))
(b) ∃p ∈ N ∀n ∈ N ∀k ∈ N : ((p > n) ∧ (k | p → k ∈ {1, p}))
Aufgabe H 3. 4 Punkte
Zeigen Sie mit Hilfe von vollst¨andiger Induktion nach n, dass 23n + 13 f¨ur alle n ∈ Z, n ≥ 0
durch 7 teilbar ist.
Homepage zur Vorlesung:
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/Lineare-Algebra-Semmelmann-WS14/
Zugangsdaten:
bei einem der Assistenten zu erfragen
Das griechische Alphabet:
Alpha
A α
Beta
B β
Gamma Γ γ
Delta
∆ δ
Epsilon E ε
Zeta
Z ζ
Eta
Theta
Iota
Kappa
Lambda
My
H
η
Θ θ, ϑ
I
ι
K
κ
Λ
λ
M µ
Ny
N ν
Xi
Ξ ξ
Omikron O o
Pi
Π π
Rho
P ρ
Sigma
Σ σ
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
T τ
Υ υ
Φ ϕ
X χ
Ψ ψ
Ω ω
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