close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

FEM-Vorlesung Teil 2

EinbettenHerunterladen
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Definition eines allgemeinen Verzerrungsmaßes
Mit dem zuvor definierten Verzerrungsmaß  ist die Verzerrungsfreiheit der Ausgangskonfiguration
( = 0) und Starrkörperverschiebungen ( = 0) gewährleistet.
Obwohl in der Kontinuumsmechanik auch weitere Verzerrungsmaße zum Einsatz kommen, soll im
Rahmen dieser Vorlesung ausschließlich der Green-Lagrange Verzerrungstensor und dessen
linearisierte Form verwendet werden.
Zur Vereinfachung der Gleichung für den Green-Lagrange Verzerrungstensor wird die Zerlegung
des Verschiebungsgradienten  in einen symmetrischen und schiefsymmetrischen Anteil
eingesetzt.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
27
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Definition eines allgemeinen Verzerrungsmaßes
Auf Basis dieser Zerlegung kann der Green-Lagrange Verzerrungstensor in folgender kompakter
Form dargestellt werden.
Der erste Summand dieser Gleichung    ist eine lineare Funktion des Gradienten der
1
Verschiebungen . Im Gegensatz hierzu ist der zweite Summand    ⋅  nichtlinear in .
2
Diese, in der Abbildung der Geometrie vom undeformierten in den deformierten Zustand
begründete Nichtlinearität wird als geometrische Nichtlinearität bezeichnet.
Der nichtlineare Term beeinflusst den Verzerrungstensor nur dann entscheidend, wenn der
Gradient des Verschiebungsfelds groß ist. Dies kann etwa bei schlanken Tragwerken wie
Seilstrukturen und Schalen oder im Falle der Plastifizierung oder Schädigung des Materials
auftreten.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
28
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Definition eines linearen Verzerrungsmaßes
Sind die Deformationen jedoch sehr klein, kann der nichtlineare Term des Verzerrungstensors
vernachlässigt werden.
In diesem Fall spricht man von der geometrisch linearen Theorie, die auch als Theorie kleiner
Verzerrungen bezeichnet wird. Das Verzerrungsmaß der geometrisch linearen Theorie ist nach
den vorangehenden Ausführungen mit dem symmetrischen Anteil des Verschiebungsgradienten 
definiert.
Zur Kennzeichnung der Theorie kleiner Verzerrungen wird der lineare Verzerrungstensor, der
auch als infinitesimaler Verzerrungstensor bezeichnet wird, mit  symbolisiert.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
29
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Definition eines linearen Verzerrungsmaßes
Die Komponenten des symmetrischen Verzerrungstensors  können mit der Definitionen des
symmetrischen Anteils eines zweistufigen Tensors und des Gradienten angegeben werden.
Schubverzerrung
Normalverzerrung
Die Definition der Komponenten des
Verzerrungstensors  ist in der rechten Abbildung
visualisiert, wobei infolge der Symmetrie des
Verzerrungstensors  =  gilt.
Bei der hier gewählten Definition charakterisieren
der erste Index die Richtung der Verzerrung und der
zweite Index die Flächennormale der bewegten
Oberfläche des repräsentativen Volumenelements.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
30
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Definition eines linearen Verzerrungsmaßes
Die Komponenten des symmetrischen Verzerrungstensors  können mit der Definitionen des
symmetrischen Anteils eines zweistufigen Tensors und des Gradienten angegeben werden.
Die Definition der Komponenten des
Verzerrungstensors  ist in der rechten Abbildung
visualisiert, wobei infolge der Symmetrie des
Verzerrungstensors  =  gilt.
Bei der hier gewählten Definition charakterisieren
der erste Index die Richtung der Verzerrung und der
zweite Index die Flächennormale der bewegten
Oberfläche des repräsentativen Volumenelements.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
31
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Definition eines linearen Verzerrungsmaßes
Im Rahmen der Finite-Element-Methode bietet es sich an, den Verzerrungszustand mit Hilfe
des Verzerrungsvektors  zu charakterisieren. Der im folgenden definierte Verzerrungsvektor
enthält die Normalverzerrungen 11 , 22 und 33 , sowie die drei verschiedenen Schubverzerrungen
12 , 23 und 13 .
Zu erwähnen ist der Faktor zwei, mit dem die Schubverzerrungskomponenten versehen sind.
Dieser ermöglicht in Verbindung mit dem noch zu definierenden Spannungstensor und
Spannungsvektor die formal äquivalente Formulierung der spezifischen inneren Energie in Tensorund Vektornotation (:  =  ⋅ ).
Ein weiterer Vorteil dieser Definition wird sich später bei der Darstellung der Verzerrungen und der
Impulsbilanz mit Hilfe von Differentialoperatoren in der Äquivalenz des Differentialoperators auf der
einen und des transponierten Differentialoperators auf der anderen Seite manifestieren.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
32
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Definition eines linearen Verzerrungsmaßes
Der erste Differentialoperator soll nun als Basis der direkten Berechnung des Verzerrungsvektors
aus dem Verschiebungsvektor entwickelt werden.
Der gesuchte kinematische Zusammenhang von Verzerrungs- und Verschiebungsvektor geht aus
der Definition der Verzerrungskomponenten auf Folie 30 hervor, wobei die Komponenten des
Differentialoperators  Ableitungsvorschriften darstellen.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
33
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Thermische Verzerrungen
Ist ein mechanisch zu analysierender Körper nicht isotherm oder unterscheidet sich das
Temperaturfeld () von der dehnungsfreien Referenztemperatur  , treten thermische
Verzerrungen  auf.
Diese sind rein volumetrisch, d.h. es sind lediglich die Verzerrungskomponenten  für  = 
ungleich Null und die Normalkomponenten der thermischen Verzerrungen sind identisch.
Hierin symbolisieren  den thermischen Ausdehnungskoeffizienten, und  die lokale Temperatur.
Thermische Verzerrungen erzeugen nicht unmittelbar Spannungen, sondern lediglich mittelbar
infolge einer Behinderung durch geometrische Zwänge. Im thermischen Lastfall  ≠  setzt sich
der totale Verzerrungstensor aus der Summe der spannungsbildenden elastischen Spannungen 
und den thermischen Verzerrungen zusammen.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
34
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.2 KINETIK DES KONTINUUMS
Theorem von Cauchy
Die Kinetik beschreibt den Zusammenhang äußerer und innerer Kräfte eines materiellen Körpers.
Als Folge äußerer Kräfte existiert nach dem Spannungsprinzip von Cauchy in einem materiellen
Körper ein Tensorfeld der Spannungen . Diese Spannungen bilden mit den im Volumen
angreifenden statischen oder dynamischen Lasten die lokale Impulsbilanz oder das
Kräftegleichgewicht.
Die lokale Impulsbilanz muss im allgemeinen bezüglich der deformierten Konfiguration
erfüllt sein. Im Rahmen der hier verwendeten der geometrisch linearen Theorie ist es jedoch
zulässig, das Kräftegleichgewicht bezüglich der undeformierten Lage zu bilden.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
35
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.2 KINETIK DES KONTINUUMS
Theorem von Cauchy
Basis des Theorems von Cauchy ist das Postulat eines Spannungsvektors  bezüglich einer
beliebigen Schnittfläche eines materiellen Körpers. Dieser Spannungsvektor ist durch den
Quotienten der an der Schnittfläche Δ angreifenden Kraft Δ für den Grenzübergang zu einer
infinitesimal kleinen Schnittfläche definiert.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
36
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.2 KINETIK DES KONTINUUMS
Theorem von Cauchy
Basis des Theorems von Cauchy ist das Postulat eines Spannungsvektors  bezüglich einer
beliebigen Schnittfläche eines materiellen Körpers. Dieser Spannungsvektor ist durch den
Quotienten der an der Schnittfläche Δ angreifenden Kraft Δ für den Grenzübergang zu einer
infinitesimal kleinen Schnittfläche definiert.
Dabei ist die Orientierung der Fläche mit Hilfe
ihres Normalenvektors  charakterisiert. Nach
dem Cauchy-Lemma wird im Innern des
Körpers der Spannungsvektor als Funktion der
nach außen weisenden Normale vom
Spannungsvektor der nach innen gerichteten
Normale bilanziert.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
37
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.2 KINETIK DES KONTINUUMS
Theorem von Cauchy
Das Theorem von Cauchy fordert nun, dass zum Vektor  ein Tensorfeld  existiert, das der im
folgenden angegebenen Vorschrift einer linearen Abbildung genügt.
Der derart postulierte symmetrische
Spannungstensor wird als Cauchyscher
Spannungstensor bezeichnet.
mit
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
38
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.2 KINETIK DES KONTINUUMS
Theorem von Cauchy
Die Spannungskomponenten  des Cauchy
Spannungstensors sind in der Abbildung anhand
der am repräsentativen Volumenelement
angreifenden Spannungspfeile illustriert.
Analog zur Definition der Verzerrungen gibt der
erste Index die Richtung der Spannung und der
zweite Index die entsprechende Flächennormale
an.
Durch Auswertung der lokalen Drehimpulsbilanz
kann die Symmetrie des Cauchy
Spannungstensors gezeigt werden.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
39
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.2 KINETIK DES KONTINUUMS
Theorem von Cauchy
Die Spannungskomponenten  des Cauchy
Spannungstensors sind in der Abbildung anhand
der am repräsentativen Volumenelement
angreifenden Spannungspfeile illustriert.
Analog zur Definition der Verzerrungen gibt der
erste Index die Richtung der Spannung und der
zweite Index die entsprechende Flächennormale
an.
Durch Auswertung der lokalen Drehimpulsbilanz
kann die Symmetrie des Cauchy
Spannungstensors gezeigt werden.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
40
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.2 KINETIK DES KONTINUUMS
Lokale Impulsbilanz
Die Bilanzgleichung des linearen Impulses beschreibt das Gleichgewicht der inneren Kräfte und der
Spannungen.
Die im Körper auftretenden Kräfte können in deformationsunabhängige, volumenspezifischen
Lasten
volumenspezifische Trägheitskräfte, die nach dem Newton Axiom der Beschleunigung
entgegengesetzt sind
und infolge von Spannungen resultierende Kräfte klassifiziert werden.
Die anschauliche Herleitung des inneren Kräftegleichgewichts oder des Impulssatzes wird auf den
zweidimensionalen Fall beschränkt und anschließend für räumliche Betrachtungen erweitert.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
41
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.2 KINETIK DES KONTINUUMS
Lokale Impulsbilanz
Betrachten wir ein differentielles Flächenelement 1 ⋅ 2 der Dicke 3 .
Im Mittelpunkt agieren die volumenspezifischen Lasten  und −.
An den Rändern des Volumenelements liefern die Spannungskomponenten mit den entsprechenden Flächenelementen
Anteile zum Kräftegleichgewicht.
Dabei sind bereits die differentiellen Änderungen der
Spannungskomponenten  innerhalb des Flächenelements
und die Symmetrie des Spannungstensors ( =  )
berücksichtigt.
Das Kräftegleichgewicht in Richtung des Basisvektors 1 beinhaltet
die Spannungskomponenten 11 , 12 und die Komponenten der
volumenspezifischen Lasten 1 und −1 .
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
42
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.2 KINETIK DES KONTINUUMS
Lokale Impulsbilanz
Die Spannungskomponenten 11 und 12 verschwinden, was
bedeutet, dass lediglich differenzierte
Spannungskomponenten bei der Formulierung des
Gleichgewichts beteiligt sind.
Die Division mit dem Elementvolumen 1 2 3 ergibt die
lokale Form des Impulssatzes in 1 -Richtung.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
43
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.2 KINETIK DES KONTINUUMS
Lokale Impulsbilanz
Analog kann die partielle Differentialgleichung der orthogonalen
Richtung 2 entwickelt werden
und für dreidimensionale Betrachtungen erweitert werden.
Dies ergibt den folgenden Satz partieller Differentialgleichungen
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
44
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.2 KINETIK DES KONTINUUMS
Lokale Impulsbilanz
In tensorieller Darstellung ergibt sich hieraus die lokale Form
der Impulsbilanz, des Kräftegleichgewichts oder der
Cauchyschen Bewegungsgleichung
Hierbei symbolisiert div  die Divergenz des Cauchy
Spannungstensors. Die Anwendung der Divergenz auf den
zweistufigen Spannungstensor liefert einen
volumenspezifischen Kraftvektor
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
45
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.2 KINETIK DES KONTINUUMS
Lokale Impulsbilanz
Analog zur Definition des Verzerrungsvektors können die
Komponenten des Spannungstensors in einen Vektor
geschrieben werden.
Der so definierte Spannungsvektor enthält die Normalspannungskomponenten 11 , 22 und 33 sowie die
Schubspannungskomponenten 12 , 23 und 13 , wobei
im Gegensatz zum Verzerrungsvektor die Schubkomponenten nicht faktorisiert werden.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
46
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.2 KINETIK DES KONTINUUMS
Lokale Impulsbilanz
Mit Hilfe der Gleichungen von Folie 44 kann die Impulsbilanz (Folie 45) auf Basis des
Spannungsvektors und der Definition des Differentialoperators  formuliert werden.
Durch Vergleich dieser Gleichung und der Gleichung von Folie 31 gewinnt man den
Zusammenhang der Differentialoperatoren  und  .
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
47
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN
Klassifizierung von Anfangs- und Randbedingungen
Die in den vorangehenden Abschnitten hergeleiteten Grundgleichungen der Kinematik und
Kinetik sind innerhalb eines materiellen Körpers oder Gebiets zu einem beliebigen Zeitpunkt
gültig.
Diese Gleichungssätze sind sowohl durch Randbedingungen, die die charakteristischen
kinematischen und kinetischen Größen der Oberfläche des Körpers oder des Gebietsrands 
betreffen, und Anfangsbedingungen des Verschiebungs- oder Beschleunigungsfelds zu
ergänzen.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
48
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN
Klassifizierung von Anfangs- und Randbedingungen
Die Abbildung zeigt einen materiellen Körper, dessen Volumen oder allgemein Gebiet Ω durch
den Gebietsrand Ω begrenzt ist.
Die Impulsbilanz inklusive der Definition des Verzerrungsmaßes
besitzt im Gebiet Ω Gültigkeit. Weiterhin sind bei zeitabhängigen
Problemen Anfangsbedingungen im Gebiet Ω vorzuschreiben.
Der Gebietsrand Ω ist in disjunkte Untermengen des
Dirichlet-Rands Ω und des Neumann-Rands Ω
unterteilt.
Dabei sind im allgemeinen auf dem Dirichlet-Rand die
primäre Variable und auf dem Neumann-Rand abhängige
Größen vorgeschrieben. Im Kontext der Elastomechanik
sind dies die Verschiebungen  und der
Spannungsvektor .
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
Gebietsrand
Dirichlet-Rand
Neumann-Rand
49
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN
Dirichlet-Randbedingungen
Die Kinematik des Kontinuums wird durch die wesentlichen, geometrischen
oder Dirichlet-Randbedingungen ergänzt. Dirichlet-Randbedingungen
sind für die beliebige Zeit  vorgeschriebene Verschiebungen für
den Teilbereich Ωu des Körperrands Ω.
Sind die vorgeschriebenen Verschiebungen identisch
Null, so handelt es sich um homogene DirichletRandbedingungen, die z.B. durch Auflager
vorgeschrieben sind.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
Gebietsrand
Dirichlet-Rand
Neumann-Rand
50
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN
Neumann-Randbedingungen
Zur Ableitung der statischen, natürlichen oder Neumann-Randbedingungen
wird zunächst der zweidimensionale Fall betrachtet und anschließend
der abgeleitete Gleichungssatz auf drei Dimensionen erweitert.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
Gebietsrand
Dirichlet-Rand
Neumann-Rand
51
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN
Neumann-Randbedingungen
Zur Ableitung der statischen, natürlichen oder Neumann-Randbedingungen
wird zunächst der zweidimensionale Fall betrachtet und anschließend
der abgeleitete Gleichungssatz auf drei Dimensionen erweitert.
Die Abbildung zeigt ein Oberflächenelement eines materiellen
Körpers. Die Oberfläche ist durch den Normalenvektor
mit
gekennzeichnet.
Der auf das Linienelement  bezogene Spannungsvektor
wird von den Spannungen an den Linienelementen 1 und
2 im Gleichgewicht gehalten.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
52
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN
Neumann-Randbedingungen
Das Kräftegleichgewicht in 1 -Richtung
dividiert durch die Dicke 3 und die Seitenlänge 
liefert die folgende Bedingung


Hierin können die Ableitungen 1 und 2 mit der Ähnlichkeit


des Normalenvektor-Dreiecks mit den Seitenlängen 1 , 2
mit  = 1 und des geometrischen Dreiecks mit den Seitenlängen 1 , 2 und  gewonnen werden
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
53
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN
Neumann-Randbedingungen
Wird zusätzlich in analoger Weise das Kräftegleichgewicht in 2 -Richtung gebildet,
erhält man den Gleichungssatz im zweidimensionalen Fall
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
54
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN
Neumann-Randbedingungen
Wird zusätzlich in analoger Weise das Kräftegleichgewicht in 2 -Richtung gebildet,
erhält man den Gleichungssatz im zweidimensionalen Fall
Für eine erweiterte dreidimensionale Betrachtung ergibt
sich das Kräftegleichgewicht am Oberflächenelement mit
dem Normalenvektor  = 1 2 3  und dem Spannungsvektor an der Oberfläche  ∗ = 1∗ 2∗ 3∗ 
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
55
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN
Neumann-Randbedingungen
In Tensornotation kann das Kräftegleichgewicht am Spannung- oder Neumann-Rand Ω
kompakt in der Cauchy Gleichung geschrieben werden
bzw. in Indexnotation
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
56
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN
Anfangsbedingungen
Dynamische Problemstellungen erfordern neben den Randbedingungen auch die Kenntnis eines
Anfangszustands zur Zeit  = 0 des deformierbaren Körpers. Dieser Zustand ist eindeutig durch
die Deformation beschreibenden partiellen Differentialgleichungen und eines der beiden Felder
der Verschiebungen (, ) oder der Beschleunigungen u(, ) charakterisiert
Durch die spezielle Wahl der Anfangszeit 0 = 0 gilt für die Verschiebung 0 = . Die
angegebenen Typen der Anfangsbedingungen schließen sich gegenseitig aus, da bei Vorgabe
des Verschiebungsfelds für  = 0 das Beschleunigungsfeld aus der Auswertung der Impulsbilanz
(Folie 45) zu diesem Zeitpunkt folgt und umgekehrt.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
57
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Grundlegende Annahmen und Klassifizierung
Konstitutive Gleichungen im klassischen Sinn setzen voraus, dass eine Beziehung zwischen
Kräften und Deformation beziehungsweise zwischen Spannungen und Verzerrungen ausschließlich
lokal, d.h. im betrachteten materiellen Punkt, besteht. Im Rahmen dieser axiomatischen
Voraussetzung gibt ein Werkstoffgesetz bei Annahme verschwindender Anfangsspannungen (0 =
) die Beziehung zwischen Spannungen , Verzerrungen , Verzerrungsraten , die die
Geschwindigkeitsabhängigkeit des Spannungstensors beschreiben, und von internen Variablen ,
die die Geschichtsabhängigkeit (Plastifizierung oder Schädigung) der Spannungen repräsentieren,
an.
Dieses generalisierte Materialgesetz beinhaltet eine Vielzahl von Materialmodellen zur
Beschreibung nichtlinearen Werkstoffverhaltens unter Berücksichtigung mikrostruktureller
Schädigung, bleibenden plastischen Verzerrungen und zeitabhängigen Effekten.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
58
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Grundlegende Annahmen und Klassifizierung
Beschränkt man sich hingegen auf die Modellierung reversibler, zeitunabhängiger, elastischer
Prozesse, kann der Spannungszustand allein aufgrund des Verzerrungszustands bestimmt werden,
wobei sich im unverformten Zustand des Körpers der Spannungstensor zum Nulltensor ergibt.
Weiterhin soll angenommen werden, dass das Material homogen und die Materialeigenschaften
richtungsunabhängig sind. Die letzte Einschränkung charakterisiert ein isotropes Materialmodell.
Ist diese Eigenschaft nicht gegeben, handelt es sich um ein anisotropes Materialmodell.
Materialien mit einem ausgeprägtem anisotropem Verhalten sind z.B. Faserverbundwerkstoffe,
Holz, bewehrter Beton oder auch gewalzte Stähle. Diese Werkstoffe weisen zumeist extreme
Unterschiede bei Belastungen längs oder quer zur Faserrichtung beziehungsweise
Kristallorientierung auf.
Es sei bemerkt, dass sich die vorgenommene Beschränkung auf isotrope Materialmodelle
lediglich auf die Formulierung des Materialgesetzes in den folgenden Abschnitten, nicht aber auf
die grundsätzliche Formulierung linearer finiter Elemente auswirkt.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
59
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Elastische Materialmodelle
Elastizität bedeutet, da der Spannungszustand nur vom momentanen Verzerrungszustand,
nicht aber vom Spannungspfad abhängt. Die geforderte Wegunabhängigkeit ist dann garantiert,
wenn der Spannungstensor durch Differentiation einer elastischen Potentialfunktion ()
bezüglich des Verzerrungstensors abgeleitet werden kann.
Integriert man (1 ) bis (2 ) entlang eines beliebigen Pfads im Verzerrungsraum, erhält man
eine pfadunabhängige Energiedifferenz.
Ist die Deformation pfadunabhängig sind die entsprechenden Stoffgesetze hyperelastisch.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
60
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Elastische Materialmodelle
Der tangentiale Elastizitätsmodul, konstitutive Tensor oder Materialtensor ℂ ergibt sich durch
Ableitung des Spannungstensors nach dem Verzerrungstensor. Andererseits stellt der
Materialtensor die lineare Abbildung des Verzerrungstensors auf den Spannungstensor dar.
Infolge der Symmetrie des Spannungstensors und des Verzerrungstensors erfüllt der konstitutive
Tensor die folgenden Symmetrieeigenschaften.
Ist der Materialtensor ℂ unabhängig von den Verzerrungen, d.h. es besteht ein linearer
Zusammenhang von Verzerrungen und Spannungen, handelt es sich um ein physikalisch oder
materiell lineares konstitutives Gesetz. Alle anderen Materialmodelle werden entsprechend durch
das Attribut physikalisch oder materiell nichtlinear gekennzeichnet.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
61
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Isotropes, elastisches Materialverhalten des Kontinuums
Im Rahmen dieser Vorlesung wollen wir uns ausschließlich auf das verallgemeinerte Hooke‘sche
Materialgesetz konzentrieren und für die spätere Nutzung schrittweise herleiten. In diesem Fall ist
die Potentialfunktion des isotropen Kontinuums als quadratische Funktion des Verzerrungstensors
und der gewählten Materialparametern wie folgt postuliert.
Repräsentativ wird die Darstellung der konstitutiven Gleichung mit den sogenannten LaméKonstanten  und λ realisiert.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
62
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Isotropes, elastisches Materialverhalten des Kontinuums
Der Zusammenhang der LaméKonstanten  und  zum Elastizitätsmodul , dem Schubmodul , der
Poisson-Querkontraktionszahl  und
dem Kompressionsmodul  ist in der
nebenstehende Tabelle gegeben.
mit
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE

=



λ

λ

 3+2
+

2 +
λ + 23 
λ

λ
−3+1
4

2
++1
+3+1
6
λ

λ
 1−2
2
2


 1+
3
λ

λ
3
−
2
9(−)
3−

3−



 −2
3−


−2
2

3 3−


2
1−2

2 1 + 

2 1+
3 1−2


 − 23

9
3+
3−2
6+2




2

2 1+



3 1−2


3 3−
9−
3
9−

3−
6



3
1+
3 1−2
2 1+
3 1 − 2


63
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Isotropes, elastisches Materialverhalten des Kontinuums
Durch Ableitung des skalarwertigen Potentials nach dem Verzerrungstensor gewinnt man den
Spannungstensor
In der Gleichung charakterisiert  den zweistufigen Identitätstensor und der Term :  die Spur
des linearen Verzerrungstensors .
Der vierstufige konstitutive Tensor ℂ wird durch erneutes Differenzieren ermittelt.
mit
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
64
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Isotropes, elastisches Materialverhalten des Kontinuums
Wird im Rahmen der Entwicklung finiter Elemente die Definition der Spannungen und
Verzerrungen in Vektoren verwendet, ergibt sich aus obigen Betrachtungen der lineare
Zusammenhang von Kinematik und Kinetik beziehungsweise Verzerrungsvektor und
Spannungsvektor in matrizieller Darstellung,
wobei die Komponenten der konstitutiven Matrix  die Komponenten des Verzerrungsvektors
und des Spannungsvektors in der folgenden Art verknüpfen.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
65
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Isotropes, elastisches Materialverhalten des Kontinuums
Für den Fall des Hooke‘schen Materialgesetzes erhalten wir nach der Berechnung aller
Komponenten den Zusammenhang
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
66
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Isotropes, elastisches Materialverhalten des Kontinuums
Nach Umformung der Materialparameter kann die konstitutive Matrix mit Hilfe des
Elastizitätsmoduls  und der Poisson-Querkontraktionszahl  beschrieben werden.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
67
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Isotropes, elastisches Materialverhalten des Kontinuums
Zur Deformationsanalyse zweidimensionaler Kontinua sind der ebene Spannungszustand und
der ebene Verzerrungszustand von Interesse.
Typische Anwendungen für ebene Spannungszustände sind Tragwerke mit einer kleinen Dicke
wie z.B. Membranen, Scheiben, Platten und Schalen.
Der ebene Verzerrungszustand wird zumeist verwendet, wenn die Dimension in eine Richtung
sehr groß ist und die Belastung in dieser Richtung unverändert ist. Sehr gebräuchlich ist der
ebene Verzerrungszustand im Bereich der Geo- und Bodenmechanik.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
68
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Ebender Spannungszustand (ESZ)
Betrachtet wird ein ebenes repräsentatives Element, welches in der von den Basisvektoren 1
und 2 aufgespannten Ebene liegt.
Im Fall des ebenen Spannungszustands wird
angenommen, dass die Spannungskomponenten
Annahmen
33 , 13 und 23 verschwinden.
Zudem sind die verbleibenden Spannungskomponenten
in Richtung des Basisvektors 3 konstant.
Die Gleichung nach Folie 66 kann somit nur erfüllt
werden, wenn folgende Bedingungen gültig sind.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
Folgerungen
69
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Ebender Spannungszustand (ESZ)
Die letzte Forderung liefert die Normaldehnung 33 als Funktion der Normaldehnungen
11 und 22 .
Annahmen
Somit kann die konstitutive Beziehung des
dreidimensionalen Kontinuums folgendermaßen reduziert
werden.
Folgerungen
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
70
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Ebender Spannungszustand (ESZ)
Nach Zusammenfassung linear abhängiger Terme ergibt sich das linear elastische Materialgesetz
des ebenen Spannungszustands in der Form  =   .
Annahmen
Oder alternativ, mit den Materialkonstanten  und .
Folgerungen
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
71
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Ebender Verzerrungszustand (EVZ)
Betrachtet wird wiederum ein flaches repräsentatives Element, das in der von den Basisvektoren
1 und 2 aufgespannten Ebene liegt. Zur Generierung des
ebenen Dehnungs- oder Verzerrungszustands wird
angenommen, dass die Verzerrungskomponenten 33 ,
Annahmen
13 und 23 verschwinden.
Mit der dreidimensionalen konstitutiven Beziehung von
Folie 66 folgt, dass die Spannungskomponenten 23 und
13 Null werden. Die Spannung 33 ist dagegen von Null
verschieden.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
Folgerungen
72
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Ebender Verzerrungszustand (EVZ)
Die Spannungskomponente 33 liefert keinen Beitrag zur Verzerrungsenergie oder zur inneren
virtuellen Arbeit, da die konjugierte Verzerrungskomponente
33 nach der obigen Annahme Null ist. Aus diesem Grund
kann die Spannungs-Verzerrungs-Beziehung mit nur drei
Annahmen
Spannungskomponenten in der Form  =   dargestellt
werden.
Oder alternative, in den Materialkonstanten  und .
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
Folgerungen
73
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Das klassische Hooke‘sche Gesetz
Die eindimensionale Spannungs-Verzerrungs-Beziehung in Richtung des Basisvektors 1 , wie sie
in der Balkentheorie angewendet wird, basiert auf den Annahmen
womit sich der folgende Zusammenhang von Spannungen und Verzerrungen ergibt.
Für die Verzerrungskomponenten 22 und 33 lässt sich eine funktionale Abhängigkeit zur
Normalverzerrung 11 herstellen.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
74
2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN
Das klassische Hooke‘sche Gesetz
Das klassische Hooke'sche Gesetz beschreibt die eindimensionale Spannungs-VerzerrungsBeziehung des Fachwerkstabs oder einer Feder.
Bemerkungen zu Anfangsverzerrungen
In den totalen Verzerrungen, können auch thermische Verzerrungen enthalten sein. In diesem Fall
werden die Spannungen mit den spannungsbildenden Verzerrungen, die als Funktion der
thermischen und der totalen Verzerrungen bestimmt sind, und dem konstitutiven Tensor gebildet.
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
75
Document
Kategorie
Technik
Seitenansichten
10
Dateigröße
2 583 KB
Tags
1/--Seiten
melden