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Kegelschnitte mit Geometrie - Software Inhalt

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Jörg Meyer
Kegelschnitte mit Geometrie  Software
Inhalt
0. Einleitung ............................................................................................................................................. 2
0.1 Didaktische Bemerkungen............................................................................................................. 2
0.2 Methodische Bemerkungen .......................................................................................................... 2
1. Parabeln............................................................................................................................................... 4
1.1 Allgemeine Eigenschaften ............................................................................................................. 4
1.2 Gleichungen ................................................................................................................................... 6
1.3 Konstruktionsaufgaben ................................................................................................................. 7
1.4 Weitere Eigenschaften der Tangenten.......................................................................................... 8
1.5 Polaren .......................................................................................................................................... 9
1.6 Hüllkurven ................................................................................................................................... 11
1.7 Hüllkurven von Polaren ............................................................................................................... 13
1.8 Andere Parabelkonstruktionen ................................................................................................... 14
1.9 Eine Klausuraufgabe .................................................................................................................... 15
2. Ellipsen............................................................................................................................................... 17
2.1 Allgemeine Eigenschaften ........................................................................................................... 17
2.2 Gleichungen ................................................................................................................................. 19
2.3 Konstruktionsaufgaben ............................................................................................................... 21
2.4 Weitere Eigenschaften der Tangenten........................................................................................ 22
2.5 Polaren ........................................................................................................................................ 24
2.6 Hüllkurven ................................................................................................................................... 25
2.7 Hüllkurven von Kreispolaren ....................................................................................................... 26
2.8 Andere Ellipsenkonstruktionen ................................................................................................... 30
3. Hyperbeln .......................................................................................................................................... 34
3.1 Allgemeine Eigenschaften ........................................................................................................... 34
3.2 Gleichungen ................................................................................................................................. 35
3.3 Konstruktionsaufgaben ................................................................................................................... 37
3.4 Asymptoten ................................................................................................................................. 39
3.5 Weitere Eigenschaften der Tangenten........................................................................................ 42
3.6 Polaren ........................................................................................................................................ 43
3.7 Hüllkurven ................................................................................................................................... 43
3.8 Andere Hyperbelkonstruktionen ................................................................................................. 44
3.9 Eine Klausuraufgabe .................................................................................................................... 46
3.10 Über Ellipsenspiegel .................................................................................................................. 47
Jörg Meyer
Kegelschnitte mit Geometrie-Software
2
0. Einleitung
0.1 Didaktische Bemerkungen
Warum Kegelschnitte in der Schule?
1. Sie können in vorzüglicher Weise dazu dienen, bisher Gelerntes in Analysis und Vektorgeometrie
anzuwenden, zu vertiefen und mit Sinn zu versehen. Analysis lernt man ja nicht nur für die
Kurvendiskussion und Vektorgeometrie nicht nur für Schnittpunktsbestimmung zweier linearer
Gebilde; ferner sind diese beiden Gebiete auch nicht zueinander disjunkt!
2. Kegelschnitte können in methodischer Hinsicht ein optimales Betätigungsfeld entdeckenden
Lernens abgeben, seit es Software zur experimentellen Geometrie gibt! Die Sätze sind konstruktiv gut
zugänglich und anschaulich zu machen (die Möglichkeit modularen Arbeitens mit „Makros“ sowie des
Unsichtbarmachens von Hilfslinien spielt dabei eine entscheidende Rolle: man hat so eine Fülle neuer
Werkzeuge neben Zirkel, Lineal und Radiergummi), die Konstruktionen können interaktiv verändert
werden (was erst die Vorbedingung für Vermutungen und Entdeckungen schafft), und die einfache
Erzeugung von Ortslinien liefert erst die Möglichkeit, geometrische Fragestellungen gezielt zu
untersuchen. Dies gilt für alle „zweidimensionalen Sätze“; dreidimensionale Aspekte (wie
Kegelschnitte als Schnitte eines Kegels) werden in diesem Heft überhaupt nicht angesprochen.
Der Ausbau der Pol/Polarentheorie zu Hüllkurven führt auf ästhetisch sehr ansprechende und damit
motivierende Graphiken, deren Erstellung (und Behandlung) ohne Computer eine Zumutung wäre.
3. Natürlich sind die Sätze nicht nur zu entdecken, sondern auch zu beweisen! Warum eigentlich? Da
man interaktiv in kurzer Zeit eine sehr große Anzahl an Spezialfällen experimentell überprüfen kann
und dann natürlich kein Schüler ernsthaft annimmt, es dabei nur mit Ausnahmefällen zu tun zu
haben, entfällt weitgehend die (schon bisher fragwürdige) Funktion eines Beweises als
Ergebnissicherung. Viel bedeutender ist ja, dass Beweise Einsicht vermitteln können! (Warum
beweist man sonst auch in der Schule manche Sätze mehrfach? Und warum gibt man sich sonst
nicht damit zufrieden, dass „die Mathematiker“ das alles schon vor Hunderten oder Tausenden von
Jahren bewiesen haben?) Genau dies Bedürfnis nach Einsicht wird durch ein interaktives
Geometrieprogramm sehr angeregt; die Schüler stellen Fragen, anstatt Antworten auf ungestellte
Fragen zu erhalten, und zwar u.a. aus folgenden Gründen:
Viele Sachverhalte über Kegelschnitte sind zunächst überraschend; die Neugier wird angeregt (dies
ist ein klassisches Beweismotiv). Ferner werden die Sachverhalte in ihrer Vielzahl bald
unübersichtlich; so dass das Bedürfnis nach Strukturierung, nach lokalem Ordnen, nach
Zusammenhängen entsteht: „Ist das neue Phänomen wirklich neu und muss ich es mir zusätzlich
merken, oder handelt es sich nur um alten Wein in einem neuen Schlauch?“
0.2 Methodische Bemerkungen
Der von mir vorgeschlagene Weg zu den Kegelschnitten knüpft an Bekanntes an: Die Schüler kennen
Mittelsenkrechten als Menge von Punkten, die zu zwei Punkten denselben Abstand haben, dann
Winkelhalbierende als Menge von Punkten, die zu zwei Geraden denselben Abstand haben. Die
natürliche Fortsetzung ist der Mischtyp: Welche Punkte haben von einem Punkt und einer Geraden
denselben Abstand? Was passiert, wenn man die Gerade durch einen Kreis ersetzt?
Um deutlich zu machen, dass Schüler selbständig auf diesem Gebiet aktiv werden können, habe ich
den gesamten Stoff in Form von Arbeitsblättern konzipiert. Die Fragen und Aufforderungen sind
zunächst noch relativ eng formuliert (das betrifft den ersten Abschnitt über Parabeln), um erst
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Kegelschnitte mit Geometrie-Software
3
einmal eine Grundlage zu schaffen. Bei den Abschnitten über Ellipsen und Hyperbeln sollen dann die
Schüler feststellen, wie die Parabeleigenschaften zu übertragen sind und welche Veränderungen
vorzunehmen sind. Dies kann in Form eines recht offenen Arbeitsauftrages geschehen. Dass das
Ergebnis dieser Aktivitäten vom Umfang und auch vom Inhalt her nicht von vorneherein feststeht,
gehört zum Wesen entdeckenden Lernens!
Die angestrebten Beweise können elementargeometrisch geführt werden oder mit Hilfe von
Vektorgeometrie oder Analysis. Die zu wählende Methode würde ich in gar keinem Fall vorschreiben!
Manche Beweise im Lösungsteil sind vielleicht eleganter als die Schülerlösungen. Ich würde sie aber
(wenn überhaupt) erst dann den Schülern zu präsentieren, nachdem diese selbst schon Beweise
gefunden haben. Nur nach eigenem Bemühen kann man ja erst die Schönheit anderer Lösungen
würdigen. Dem widerspricht nicht, dass einige Arbeitsblätter schon die Lösungen enthalten, die „nur“
noch nachvollzogen werden müssen; dies geschieht dort, wo Schüler kaum eine Chance haben,
selber auf die Lösung zu kommen. (Entdeckendes Lernen heißt ja nicht, dass die Schüler die gesamte
Mathematik neu erfinden müssten!)
Um das Bedürfnis nach Ordnung zu unterstützen, empfiehlt es sich auf jeden Fall, nach jedem
Arbeitsblatt die Schüler eine Zusammenfassung des Stoffes schreiben zu lassen sowie in
regelmäßigen Abständen auch Zusammenfassungen der Zusammenfassungen und mit den Schülern
ausführlich darüber zu reden. Lernen ist ja ständiges Zusammenfassen und Umstrukturieren! Hieraus
ergibt sich, dass in dieser Unterrichtseinheit die Schüler keineswegs die ganze Zeit am Computer
sitzen.
Selbstverständlich gibt es auch schwierige Aufgaben (wenn, dann am Ende einer Untereinheit). Ich
habe darauf verzichtet, sie eigens zu kennzeichnen; durch einen Blick auf die Lösungen findet der
Lehrer selber besser heraus als ich, welche Aufgaben für seinen Schüler zu anspruchsvoll sind.
Jörg Meyer
Kegelschnitte mit Geometrie-Software
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1. Parabeln
1.1 Allgemeine Eigenschaften
Die Menge aller Punkte P, die zu einem Punkt F und zu einer Geraden g denselben Abstand haben,
heißt Parabel:
1.1.1: Zeichnen Sie die Parabel als Ortskurve! Schreiben Sie dazu ein Makro, das zu F, g und einem
beliebigen Punkt L auf g den Parabelpunkt P zeichnet. Experimentieren Sie mit Ihrem neuen
Werkzeug! Wie verändert sich das Aussehen der Parabel, wenn der Abstand zwischen F und g
verändert wird?
1.1.1: P liegt auf der Mittelsenkrechten zu PL. Außerdem liegt P auf dem Lot zu g durch L.
Die Parabel wird enger (!!), falls der Abstand zwischen F und g verringert wird.
F heißt Brennpunkt, und g heißt Leitgerade.
1.1.2: Der Scheitelpunkt der Parabel heißt S. Wo liegt er, und was lässt sich über die Symmetrie der
Parabel sagen?
1.1.2: S liegt „in der Mitte zwischen“ F und g. Die Gerade durch S und F ist Symmetrieachse
der Parabel.
1.1.3: Es sei M die Mitte von F und L. Begründen Sie: FL steht auf MP senkrecht, und MP halbiert den
Winkel FPL.
1.1.3: Das Dreieck FLP ist (nach Konstruktion) gleichschenklig.
1.1.4: Was passiert mit M, wenn L auf g bewegt wird? Warum ist das so?
1.1.4: M bewegt sich auf der Parallelen zu g durch S. Wegen FM = ML ist die yKoordinate
von F immer das arithmetische Mittel der (konstanten) yKoordinaten von F und L.
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1.1.5: Verifizieren Sie: Die Gerade durch M und P berührt die Parabel in P. Es handelt sich also um die
Parabeltangente durch P. Warum ist das so?
1.1.5: Ein analytischer Beweis liegt auf der Hand; ein elementargeometrischer verläuft etwa
folgendermaßen:
Da MP die Mittelsenkrechte zu FL ist, gilt für jeden Punkt R  P auf MP, dass
d(R,F)  d(R,L)  d(R, g) ist; MP liegt also (bis auf den Punkt P) vollständig unterhalb der
Parabel.
1.1.6: Man kann mit 1.1.3 und 1.1.5 den Parabolspiegel erklären (ein zur Parabelachse paralleler
Strahl wird in P an der Parabel(tangente) reflektiert). Wie?
1.1.6: Jeder zur Parabelachse paralleler Strahl hat die Eigenschaft, nach F reflektiert zu
werden.
1.1.7: Spiegelt man P an M, so erhält man den Punkt Q. Was passiert mit Q, wenn L auf g bewegt
wird? Erklären Sie Ihre Beobachtung!
PFQL heißt begleitende Raute.
Jörg Meyer
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1.1.8: Betrachten Sie das folgende Bild. Wie kommt der Punkt T zustande? Was können Sie über die
Lage der Punkte auf der Parabelachse sagen? Versuchen Sie, Ihre Beobachtungen zu erklären.
1.1.78: Q bewegt sich auf der Parabelachse. FPLQ bildet eine Raute. T entsteht, wenn man P
auf die Parabelachse projiziert. Aufgrund der Strahlensätze ist S der Mittelpunkt von T und Q.
1.2 Gleichungen
Als Ursprung des Koordinatensystems nehmen wir den Scheitelpunkt; die Scheiteltangente sei die
0
xAchse. Ferner sei F    .
f
1.2.1: Falls Sie es noch nicht gemacht haben sollten: Berechnen Sie die Punkte L, M, P. Ermitteln Sie
die Gleichung der Parabel.
a
F L a / 2

1.2.1: Ein Punkt auf der Leitgeraden ist L    , und es folgt M 
 . Die
2
 f 
 0 
Mittelsenkrechte zu FL durch M hat die Gleichung X  F  L   M F  L  , also
a  x  2  f  y  
a2
. Schneidet man sie mit der Parallelen zur yAchse durch L, so ergibt sich
2
a


x2
P 2
. Die Parabelgleichung lautet demnach y 
.

 a / (4  f) 
4f


1.2.2: Unter welcher Voraussetzung erhält man die Normalparabel mit der Gleichung y  x2 ?
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Kegelschnitte mit Geometrie-Software
7
 0 
1.2.2: Die Normalparabel hat den Brennpunkt F  
.
1 / 4 
1.2.3: Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle a.
1.2.3: Auch ohne Analysis ergibt sich die Gleichung leicht als y 


1
 2  a  x  a2 ; im Fall der
4f
Normalparabel ist y  2  a  x  a2 .
1.3 Konstruktionsaufgaben
1.3.1: Gegeben seien der Brennpunkt F der Parabel, die Parabelachse und ein Parabelpunkt P. Wie
konstruiert man die Tangente t durch P?
1.3.1: Man projiziere P auf die Achse (Resultat: T). Man ermittle S (als Mitte zwischen F und
g). Man spiegele T an S (Resultat: Q). Dann ist QP die gesuchte Tangente.
1.3.2: Gegeben sei der Brennpunkt F der Parabel, die Parabelachse und eine Parabeltangente t. Wie
konstruiert man den Parabelpunkt P auf t?
1.3.2: Spiegelt man F an der Tangente, erhält man L. Das Lot zu g durch L schneidet die
Tangente in P.
Parabeln lassen sich natürlich auch mit der Parabelschablone zeichnen. Sie können jetzt auch die
folgenden Aufgaben lösen:
1.3.3: Eine Parabel liege mit ihrer Achse gezeichnet vor. Man konstruiere den Brennpunkt.
1.3.3: P, S und T sind gegeben. Q bekommt man durch Spiegelung von T an S. Die
Mittelsenkrechte zu QP schneidet die Achse in F.
1.3.4: Eine Parabel liege mit ihrer Achse gezeichnet vor. Wie konstruiert man die Tangenten von
einem Punkt V außerhalb der Parabel?
Schreiben Sie ein Makro, das die Tangenten (samt ihrer Berührpunkte) zeichnet. Experimentieren Sie
mit Ihrem neuen Werkzeug!
1.3.4: V sei der in Rede stehende Punkt. Wenn V auf der Parabelachse liegt, ist das Problem
banal.
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Ansonsten zeichne man die Scheiteltangente. FM muss auf der gesuchten Tangente
senkrecht stehen. Daher konstruiere man den Thaleskreis über FV; dieser schneidet die
Scheiteltangente in M und M’. Dann sind VM und VM’ die gesuchten Tangenten.
1.4 Weitere Eigenschaften der Tangenten
1.4.1: Eine Parabeltangente schneide die Leitlinie in V. Was lässt sich über das Dreieck VFP sagen?
Wie kann man das erklären?
Wie kann man diesen Sachverhalt nutzen, um die Parabeltangente zu P zu konstruieren?
1.4.1: Geometrische Begründung: L liegt auf dem Thaleskreis über VP. Da L und F
spiegelbildlich zur Tangente liegen, muss der Thaleskreis auch durch F gehen. Daher steht VF
auf FP senkrecht.
a


0
Rechnerische Begründung: Es ist P   2
, F    , und die Tangente hat die

 a / (4  f) 
f



 a2  4  f 2 ) / (2  a
1
2
 2  a  x  a , woraus V  
Gleichung y 

4f
f

dass mFP  mFV  1 ist.


  folgt. Hieraus folgt leicht,


Zur Konstruktion der Parabeltangente: Die Senkrechte zu PF durch F schneidet die Leitgerade
in V. VP ist Tangente.
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1.4.2: Verlängert man PF über F hinaus, so gelangt man zum Berührpunkt P’ der zweiten
Parabeltangente durch V. Warum ist das so?
1.4.2: Die Dreiecke VPF und VP’F müssen wegen PT1 beide bei F einen rechten Winkel haben.
Daher liegt F auf der Strecke PP’.
1.4.3: Beweisen Sie: Zwei Parabeltangenten sind genau dann zueinander rechtwinklig, wenn sie sich
auf der Leitgeraden schneiden.
1.4.3: Die zu den Stellen a und b gehörigen Parabeltangenten haben die Gleichungen
 (a  b) / 2 
1
1
y
 2  a  x  a2 und y 
 2  b  x  b2 ; sie schneiden sich in S  
 . Beide
4f
4f
 a  b / (4  f) 
2  a 2 b
a b

 1 , was zu
 f äquivalent
stehen genau dann aufeinander senkrecht, wenn
4f 4f
4f
ist. Die letztere Bedingung bedeutet aber, dass S auf der Leitgeraden liegt.




1.4.4: Beweisen Sie: Zwei Parabeltangenten schneiden sich genau dann auf der Leitlinie, wenn die
Verbindungsgerade ihrer Berührpunkte durch den Brennpunkt geht.
a
b




1.4.4: Die Gerade durch die beiden Parabelpunkte  2
und  2
hat die

 a / (4  f) 
 b / (4  f) 




0
1
a b
  (a  b)  x  a  b  ; sie geht genau dann durch F    , wenn f  
Gleichung y 
ist,
f
4f
4f
 
was zur Orthogonalität der beiden Tangenten äquivalent ist.
1.5 Polaren
In 1.3.4 haben Sie gelernt, wie man durch einen gegebenen Punkt V die Tangenten an eine Parabel
konstruiert. Die Gerade durch die Berührpunkte P und P’ heißt Polare zu V. Wir bezeichnen sie mit
V# .
Jörg Meyer
Kegelschnitte mit Geometrie-Software
10
1.5.1: Schreiben Sie ein Makro, das zu F, g und V die Polare V # zu V konstruiert. Experimentieren Sie
mit Ihrem neuen Werkzeug! Was passiert, wenn V auf der Leitgeraden liegt? Was passiert, wenn V
auf der Parabel liegt? Erklären Sie Ihre Beobachtungen!
1.5.1: Die Polare eines Punktes auf der Leitgeraden ist nach PT der Brennpunkt. Die Polare
eines Parabelpunktes ist die dortige Tangente.
Bei den folgenden Rechnungen können Sie annehmen, dass die Parabelgleichung y  x2 lautet.
u
1.5.2: Ermitteln Sie die Gleichung der Polaren zu V    .
v
1.5.2: Eine mögliche Lösung besteht darin, durch V Geraden zu legen, die Parabeltangenten
sind, dann deren Berührpunkte zu ermitteln und durch diese beiden Berührpunkte die
gesuchte Gerade zu legen.
Dieser Weg ist naheliegend, aber auch arbeitsaufwendig und langweilig. Man lernt nichts
dabei.
Bessere Antwort: Die Tangente ti durch den (unbekannten und auch uninteressanten) Punkt
 ai 
u
Pi   2  hat die Gleichung y  2  ai  x  a2i . Dann liegt V    auf ti , also gilt v  2  ai  u  ai2 .
a 
v
 i 
Schreibt man diese Gleichung als a2i  2  ai  u  v , so bedeutet sie, dass die Berührpunkte Pi
auf einer Geraden mit der Gleichung y  2  u  x  v liegen. Damit hat man die Polare
gefunden.
1.5.3: Lassen Sie V auf einer Geraden laufen. Was können Sie über die Polaren V # zu V sagen?
Versuchen Sie, Ihre Beobachtung zu beweisen!
Sie haben in 1.5.3 gesehen: Wenn V auf einer Geraden g läuft, so drehen sich die Polaren zu V um
einen festen Punkt. Diesen nennen wir den Pol zu g. Wir bezeichnen ihn mit g # .
1.5.4: Berechnen Sie den Pol g # einer Geraden g.
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 u 
1.5.34: Die Geradengleichung sei g: y  m x  n , also V  
 . Die Polare zu V hat
 m u  n 
dann die Gleichung y  2  u  x  m  u  n . Alle diese Gleichungen schneiden einander in
m / 2

 . Damit hat man den Pol von g gefunden.
 n 
1.5.5: Beweisen Sie:

Es sei V # die Polare zu V. Wenn Sie den Pol zu V # nach 1.5.4 ausrechnen, erhalten Sie
wieder V.

Es sei g # der Pol zu g. Wenn Sie die Polare zu g # nach 1.5.2 ausrechnen, erhalten Sie wieder
g.
u
1.5.5:    y  2  u  x  v
v
und
m / 2
y  m x  n  

 n 
Wegen 1.5.5 können Sie jedem Punkt V eine Polare V # zuordnen. Ferner können Sie jeder Geraden g
einen Pol g # zuordnen.
1.5.6: Zu jeder Polare V # gibt es eine dazu parallele Tangente. Betrachten Sie das nachstehende Bild,
und untersuchen Sie es auf Abstandsverhältnisse.
Begründen Sie Ihre Beobachtungen!
Schreiben Sie aufgrund Ihrer Beobachtungen ein Makro, das einheitlich zu jedem Punkt V
(unabhängig davon, ob V außerhalb, auf oder innerhalb der Parabel liegt) die zugehörige Polare
konstruiert, und experimentieren Sie!
u
 u 
u
1.5.6: Es sei V    ; dann ist P   2  . Spiegelt man V an P, bekommt man R   2
.
 2  u  v 
u 
v


 
R liegt auf der Polaren zu V.
1.6 Hüllkurven
In 1.1.3 haben Sie gesehen, dass FM auf der Parabeltangente senkrecht steht und dass M auf der
Scheiteltangente SM liegt.
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Wenn nun M die Scheiteltangente durchläuft und immer die Senkrechten zu FM durch M gezeichnet
werden, so bekommt man alle Tangenten der Parabel:
Die Parabel erscheint als Hüllkurve ihrer Tangenten.
In der Analysis haben Sie gelernt, wie man die Tangenten berechnet, wenn man die Punkte der Kurve
kennt. Hier liegt die inverse Fragestellung nahe: Kann man die Punkte errechnen, wenn man nur die
Tangenten der Kurve kennt? D.h. wenn man nicht wüsste, dass bei der obigen Zeichnung die
Geraden eine Parabel einhüllen, ja, wenn man gar keine Vermutung hätte, um welche Kurve es sich
dabei handelt, könnte man das trotzdem herausbekommen? Ja, man kann!
0
u
Dazu sei F    der Brennpunkt und U    ein beliebiger Punkt auf der xAchse (die sich dann
f
0
hinterher als Scheiteltangente herausstellen wird).
u
u2
1.6.1: Bestätigen Sie, dass die Senkrechte zu FM durch M die Gleichung y   x 
hat.
f
f
Wie kommt man jetzt zu dem gesuchten Kurvenpunkt? Er muss ja der Berührpunkt der nun
bekannten Gerade g mit der gesuchten Kurve sein. Wie sind Sie in der Analysis vorgegangen? Dort
war der Berührpunkt bekannt, und Sie haben die Berührgerade gesucht.
Erinnern Sie sich? Statt der gesuchten Tangente in einem Kurvenpunkt P haben Sie zunächst die
Sekante PQ mit einem zweiten beliebigen Kurvenpunkt Q berechnet. Wenn dann der Punkt Q sich
dem Punkt P immer mehr annäherte, so näherte sich auch die Sekante immer mehr der Tangente an.
Die Tangente in P „war“ dann die Grenzgerade der Sekanten für QP; es galt: tP  lim PQ .
Q P
Diese Vorgehensweise übernehmen wir hier! Statt des gesuchten Berührpunkts Bg von g berechnen
wir zunächst den Schnittpunkt g  h mit einer zweiten beliebigen Tangente h. Die Gerade h rührt von
v
v
v2
einem anderen Punkt V    auf der Scheiteltangente her und hat die Gleichung h: y   x 
.
f
f
0
 u v 
Der Schnittpunkt von g mit h ist S  
.
 uv / f 
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Wenn nun die Gerade h sich immer mehr der Geraden g annähert, so nähert sich auch der
 u v 
Schnittpunkt S  
 immer mehr demjenigen Punkt Bg auf g an, der Berührpunkt mit der
 uv / f 
Parabel ist: Bg  lim g  h .
hg
1.6.2: Berechnen Sie so den Berührpunkt, und verifizieren Sie, dass er auf einer Parabel liegt.
1.7 Hüllkurven von Polaren
Sie haben in 1.5.3 gesehen: Bewegt sich ein Punkt auf einer Geraden, so drehen sich seine Polaren
um einen festen Punkt.
Was passiert eigentlich mit den Polaren, wenn sich der Punkt auf einer anderen Kurve bewegt? Die
„Polkurve“ wird dann wohl Anlass zu einer Hüllkurve von Polaren, also zu einer „Polarenkurve“
geben.
1.7.1: Betrachten Sie die Polarenkurve einer Parabel.
Die sich ergebenden Bilder sind z.B. (die Polkurve wird durch Punkte angedeutet):
Man hat den Eindruck, als seien die Polarenkurven wieder Parabeln.
Das lässt sich bestätigen:
Die Ausgangsparabel habe die Gleichung y  x2 ; und die Gleichung der Polparabel sei
y  a  x2  b  x  c .
13
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14
u


Ein Punkt U   2
auf der Polparabel hat die Polare mit der Gleichung
 a  u  b  u  c 


v
y  2  u  x  a  u2  b  u  c . Ein anderer Punkt V    gibt Anlass zu einer analogen Polarengleichung.
 
  a  u  v   b  / 2 
Beide Polaren schneiden einander in 
 . Führt man den Grenzübergang v  u aus,
a u  v  c


 a u  b / 2 
so gelangt man zum Berührpunkt 
. Die Polarenkurve hat also die Gleichung
 a  u2  c 


2
 b
x  
2
y
 c ; es handelt sich somit tatsächlich um eine Parabel.
a
1.7.2: Betrachten Sie die Polarenkurve eines Kreises.
1.7.2: Die Gleichung der Kurve war zwar nicht verlangt; man bekommt sie aber
folgendermaßen:
0
 cos  
Die Parabel sei die Normalparabel mit y  x2 , und ein Punkt des Kreises sei    r  
.
k 
 sin  
Dann hat die Polare dieses Punktes die Gleichung y  2  r  cos  x  k  r  sin  . Die zum
Winkel  gehörige Polare hat eine analoge Gleichung, und der Schnittpunkt beider Polaren
lässt sich berechnen. Führt man für ihn den Grenzübergang    aus, so ergibt sich der
   cot   / 2 
Berührpunkt 
 ; er liegt auf einer Kurve mit der Gleichung
 k  r / sin  
2
 y k 
2

  2  x   1 .
r


Achtung: Nimmt man als Polkurve einen Kreis, der nicht auf der Parabelachse liegt, so ergibt
sich eine gedrehte Hyperbel, die mit den Mittel der Schulmathematik nicht mehr
angemessen untersucht werden kann.
Die sich hier ergebende Polarenkurve wird uns später noch begegnen.
1.8 Andere Parabelkonstruktionen
1.8.1. Die folgende Konstruktion lässt sich bequem ausführen. Der Winkel bei S beträgt immer 90.
Beschreiben Sie die Konstruktion, und begründen Sie ihre Richtigkeit.
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0
x 
1.8.1: Es sei S    und R    . Aufgrund des Höhensatzes ist x2  a  y .
0
 a 
1.8.2: Beschreiben Sie auch die folgende Konstruktion, und begründen Sie wieder ihre Richtigkeit.
0
0
v
e
1.8.2: Es sei B    , A    und D    . AD hat die Steigung
, also hat BP die
v
0
e
0
 v 
v
Gleichung y   e , woraus sich P   2  ergibt.
 v / e
e


1.9 Eine Klausuraufgabe
1.9.1: F sei ein fester Punkt. Ein beliebiger achsenparalleler Strahl soll bei P in Richtung F reflektiert
werden; vor Erreichen von F soll er abermals bei Q so reflektiert werden, dass er danach wieder
achsenparallel verläuft.
15
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a. Auf welcher Kurve liegt P? Begründen Sie die entsprechende Eigenschaft.
b. Auf welcher Kurve liegt Q? Begründen Sie die entsprechende Eigenschaft.
c. Wozu kann man die gesamte Anordnung verwenden?
1.9.1: P liegt auf einer Parabel mit dem Brennpunkt F. Q liegt auf einer Parabel mit dem
Brennpunkt F. Ein Bündel achsenparalleler Strahlen kann so verengt bzw. aufgeweitet
werden.
16
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17
2. Ellipsen
2.1 Allgemeine Eigenschaften
Die Menge aller Punkte, die zu einem Kreis k und zu einem Punkt F innerhalb von k denselben
Abstand haben, heißt Ellipse.
Wie üblich ist der Abstand d(P, k) als kürzeste Entfernung d(P, K) für Punkte K auf dem Kreis k
definiert.
F heißt Brennpunkt, und k heißt Leitkreis (Zentrum Z; Radius r).
2.1.1: Zeichnen Sie die Ellipse als Ortskurve! Schreiben Sie dazu ein Makro, das zu F, Z und K den
Ellipsenpunkt P zeichnet. Experimentieren Sie mit Ihrem neuen Werkzeug! Wie verändert sich das
Aussehen der Ellipse, wenn der Abstand zwischen F und k verändert wird?
2.1.1: P liegt auf der Mittelsenkrechten zu FK. Außerdem liegt P auf ZK.
Die Ellipse wird kreisförmiger, falls der Abstand zwischen F und Z verringert wird. Ist F = Z, so
erhält man einen Kreis.
2.1.2: Die Ellipse hat zwei ausgezeichnete Punkte, nämlich die beiden Scheitelpunkte, die jeweils
genau in der Mitte zwischen F und k liegen. Ferner hat die Ellipse eine Symmetrieachse, die durch F, Z
und die beiden Scheitelpunkte verläuft.
2.1.2a: Wegen d(P,k)  d(P,K)  r  d(P, Z) lässt sich die die Ellipse definierende Gleichung
d(P,F)  d(P,k) umschreiben zu d(P,F)  d(P, Z)  r . Auch Z ist also ein Brennpunkt.
Hieraus folgt:
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18
Die Ellipse ist symmetrisch zur Mittelsenkrechten von ZF. Sie verläuft vollständig innerhalb des
Leitkreises. Warum?
2.1.2a: Die Gleichung d(P, F) + d(P, Z) = r ändert sich nicht, wenn man F und Z miteinander
vertauscht. Wäre P außerhalb des Leitkreises, so wäre d(P, Z) größer als r; dann müsste aber
d(P, F) negativ sein.
2.1.3: Es sei M die Mitte von F und K. Begründen Sie: FK steht auf MP senkrecht, und MP halbiert den
Winkel FPK.
2.1.3: Das Dreieck PFK ist (nach Konstruktion) gleichschenklig.
2.1.4: Verifizieren Sie: Wenn K auf dem Leitkreis k bewegt wird, bewegt sich M auf einem anderen
Kreis.
Dieser zweite Kreis heißt Scheitelkreis. Was wird der Grund für die Benennung sein?
2.1.4a: Begründen Sie die Beobachtung von 2.1.4, indem Sie die Koordinaten von M berechnen.
Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Scheitelkreises.
 cos  
s
F  K  s / 2  r  cos  

2.1.44a: Ist K  r  
 und F    , so ist M 
  
 . Der
2
 sin  
0
 0  2  sin  
Z F
Scheitelkreis hat den Mittelpunkt
und den Radius r/2. Die Scheitelpunkte der Ellipse
2
liegen auf ihm.
2.1.5-6: Übertragen Sie 1.1.5-6 auf die Ellipse!
2.1.5: Die Gerade durch M und P ist Ellipsentangente aus folgendem Grund: Da MP die
Mittelsenkrechte zu KF ist, gilt für jeden Punkt R  P auf MP, dass d(R,F)  d(R,K)  d(R,k) ist;
MP hat also mit der Ellipse nur den Punkt P gemeinsam.
2.1.6: Jeder von F ausgehende Strahl wird an der Ellipse(ntangente) so reflektiert, dass er
anschließend durch Z geht.
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19
2.1.7: Spiegelt man P an M, so erhält man den Punkt Q. Verifizieren Sie: Wenn K auf dem Leitkreis
bewegt wird, durchläuft Q weder eine Gerade noch einen Kreis oder eine sonstwie vertraut
anmutende Kurve.
 cos  
s
2.1.7: Wiederum sei K  r  
 und F    . Die Ellipsentangente hat als Mittelsenkrechte
 sin  
0
zu F und K die Gleichung X  K  F  
K F
K2  F2
, und die Kreistangente hat die
 K  F  
2
2
Gleichung X  K  K2 . Subtrahiert man beide Gleichungen voneinander, so folgt X  F 
und damit x  s 
K2  F2
2
r2  s2
.
2
1.1.7 lässt sich also nicht direkt analogisieren.
2.1.7a: Die Ellipsentangente durch P und die Leitkreistangente durch K schneiden einander in V.
Verifizieren Sie: Wenn K den Leitkreis durchläuft, durchläuft V eine Gerade.
Diese Gerade heißt Leitgerade der Ellipse; sie wird hier mit g abgekürzt.
PFVK heißt begleitender Drachen; er ist rechtwinklig.
2.1.7b: Begründen Sie die Beobachtung von 2.1.7a.
2.1.7c: Schreiben Sie ein Makro, das (in Abhängigkeit von F und Z und K) die Leitgerade g einer Ellipse
zeichnet. Experimentieren Sie mit Ihrem neuen Werkzeug!
2.2 Gleichungen
Da man hier anders vorgeht als bei Parabeln, ist die interne Nummerierung von 2.2 nicht analog zu
der internen Nummerierung von 1.2.
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20
Nehmen Sie als Ursprung des Koordinatensystems den Mittelpunkt des Scheitelkreises, also die Mitte
f
 f 
zwischen Z und F. Es sei F    , also Z     F . Der Leitkreis habe den Radius r.
0
0
r
 a und a2  f2  b2 .
2
Folgende Abkürzungen sind sinnvoll und üblich:
2.2.1: Begründen Sie die Streckenlängen auf dem nachstehenden Bild.
x
2.2.2: Es ist für das Weitere von Nutzen, den Abstand d(P,F) für einen Ellipsenpunkt P    zu
y
berechnen. Der Trick besteht in einer cleveren Verwendung der 3. binomischen Formel.
Die Ellipsenpunkte P sind durch die Beziehung d(P,F)  d(P, Z)  r  2  a charakterisiert.
Ferner ist d(P, Z)2  (x  f)2  y2 und d(P,F)2  (x  f)2  y2 , also d(P, Z)2  d(P,F)2  4  x  f .
Mithin ist d(P, Z)  d(P,F) 
ergibt, dass d(P,F)  
d(P, Z)2  d(P,F)2 4  x  f 2  x  f


, was zusammen mit d(P, Z)  d(P,F)  2  a
d(P, Z)  d(P,F)
2a
a
xf
 a ist.
a
2.2.3: Leiten Sie hieraus die Ellipsengleichung
d(P,F)  (x  f)  y und  d(P,F)
2
2
2
2
x2
a2

y2
b2
 1 her, indem Sie die Gleichungen
2
 xf


 a  voneinander abziehen.
 a

 a  cos t 
2.2.4: Sie können einen beliebigen Ellipsenpunkt P auch schreiben als P  
.
 b  sint 
Dass wir die Ellipse durch 2 Gleichungen beschrieben haben, ist kein reiner Luxus. Zur Beschreibung
der Ellipsenpunkte nimmt man 2.2.4, und wenn man testen will, ob irgendein Punkt auf der Ellipse
liegt oder nicht, nimmt man 2.2.3.
 x0 
x x
yy
2.2.5: Die Tangente zu dem Ellipsenpunkt   hat die Gleichung 2 0  2 0  1 .
a
b
 y0 
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21
b
b 1 2  x
b2 x
2.2.5: Man leitet die Ellipse ab: f(x)    a2  x2 führt auf f '(x)    
 2 
a 2 a2  x2
a
a y
b2 x
. Also lautet die Tangentengleichung y   2  0  (x  x 0 )  y 0 , woraus
a y0
b2  x  x 0  a2  y  y 0  b2  x20  a2  y20 folgt.
a2b2
2.2.6: Wenn Sie es nicht schon gemacht haben: Zeigen Sie, dass die Leitgerade die Gleichung
g: x 
a2
hat.
f
f
 f 
 cos  
2.2.6: Mit F    , Z     F und E  
 ist K  Z  2  a  E , und es gilt:
0
0
 sin  
Die Kreistangente hat die Gleichung X  (K  Z)  K  (K  Z) ; die Ellipsentangente hat als
K F
 (K  F) . Subtrahiert man beide
Mittelsenkrechte zu F und K die Gleichung X  (K  F) 
2
Gleichungen voneinander, so ergibt sich (unter Beachtung von Z  F ), dass
2  X F 
(K  Z)2 4  a2  E2
a2

 2  a2 ist. Hieraus folgt aber x  .
2
2
f
2.2.7: Schreibt man d(P,F)  
xf
f  a2  f
 a    x     d(P, g) , so erkennt man:
a
a 
f  a
f
Für jeden Ellipsenpunkt P gilt d(P,F)   d(P, g) mit   .  heißt numerische Exzentrizität.
a
2.3 Konstruktionsaufgaben
2.3.14: Die Konstruktionsaufgaben 1.3.14 lassen sich von der Parabel auf die Ellipse übertragen.
Formulieren Sie entsprechende Aufgabenstellungen, und lösen Sie sie.
2.3.1: Gegeben seien Z, F, und P. Man konstruiere die Ellipsentangente.
K liegt auf der Verlängerung von ZP mit d(P,F)  d(P,K) . Die Mittelsenkrechte zu KF ist die
gesuchte Tangente.
2.3.2: Gegeben seien Z, F und eine Ellipsentangente t. Man konstruiere den Ellipsenpunkt.
Spiegelt man F an t, erhält man K. P ist der Schnittpunkt von t mit ZK.
2.3.3: Eine Ellipse liege mit einer Achse gezeichnet vor. Man konstruiere die Brennpunkte.
Für den Scheitelpunkt S gilt, dass d(Z, S)  d(F, S)  r ist. Hieraus folgt d(T, S)  r .
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22
Für den Punkt P auf der vertikalen Achse gilt, dass d(Z,P)  d(F,P)  r ist. Mithin liegen Z und F
auf einem Kreis um P mit dem Radius r/2.
2.3.4: Eine Ellipse liege mit einer Achse gezeichnet vor. Man konstruiere die Tangenten von
einem Punkt V außerhalb der Ellipse.
Schneidet eine Ellipsentangente den Scheitelkreis in M, so steht FM auf der Tangente
senkrecht. Man konstruiere also zunächst F. Dann schlage man den Thaleskreis über FV.
Dieser schneidet den Scheitelkreis in M und M’. Die Geraden VM und VM’ sind dann die
gesuchten Tangenten.
2.4 Weitere Eigenschaften der Tangenten
Auch die weiteren Eigenschaften der Tangenten bei Parabeln (1.4) fordern zu einer Analogisierung
heraus. Das kann schiefgehen:
2.4.1: Analogisieren Sie 1.4.1.
Hierbei ist sicher die Leitgerade der Parabel durch den Leitkreis der Ellipse zu ersetzen. Schneidet nun
eine Ellipsentangente den Leitkreis in V, so ist das entstehende Dreieck i.a. nicht rechtwinklig! Was
tun? Nun, vielleicht ist der Leitkreis doch nicht das geeignete Objekt? Drehen wir den Spieß herum!
2.4.1a: Konstruieren Sie den geometrischen Ort aller Punkte V auf Ellipsentangenten, so dass PF auf
FV senkrecht steht, und begründen Sie, dass Sie damit die Leitgerade erhalten. Wie kann man diesen
Sachverhalt nutzen, um die Ellipsentangente zu P zu konstruieren?
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23
2.4.1a: Zur Konstruktion: Die Senkrechte zu PF durch F schneidet die Leitgerade in V. PV ist
die Tangente.
2.4.2: Analogisieren Sie 1.4.2.
2.4.2: Verlängert man PF über F hinaus, so gelangt man zum Berührpunkt der zweiten
Ellipsentangente durch V. Hier greift dasselbe Symmetrieargument wie in M 1.4.2.
2.4.3: Das direkte Analogon zu 1.4.3 ist sowohl für den Leitkreis als auch für die Leitgerade falsch; der
geometrische Ort aller Punkte, von denen aus zueinander orthogonale Tangenten an die Ellipse
gezogen werden können, ist vielmehr ein zum Scheitelkreis konzentrischer Kreis mit dem Radius
a2  b2 .
2.4.4: Die Analogisierung von 1.4.4 würde nur zu länglichen Rechnungen führen; wir werden bald
eine bessere Methode kennenlernen.
Wichtiger ist folgende Beobachtung:
2.4.5: Die Ellipsentangente t schneide den Scheitelkreis in M und N. Begründen Sie, dass
d(F,M)  d(Z,N)  b2 ist.
2.4.5: Spiegelt man ZN am Kreismittelpunkt, erhält man FR. Beide Strecken sind also gleich
lang. Nun gilt nach dem Sehnensatz, dass d(F,M)  d(F,R)   a  f    a  f   b2 ist.
Die Ellipsentangenten haben also die Eigenschaft, dass das Produkt ihrer Abstände zu den
Brennpunkten konstant ist: d(t,F)  d(t, Z)  b2 .
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24
2.5 Polaren
Sie werden schon vermuten, dass die Leitgerade die Polare des Brennpunkts ist. Das ist
offensichtlich, wenn Sie 2.5.15 gelöst haben:
2.5.15: Analogisieren Sie 1.5.15!
u
2.5.2: Ermitteln Sie die Gleichung der Polaren zu V    !
v
x 
Die Tangente ti durch den (unbekannten und auch uninteressanten) Berührpunkt Pi   i 
 yi 
hat die Gleichung
x  xi
2
a

y  yi
2
b
u
u x v  y
 1 . Dann liegt V    auf ti , also gilt 2 i  2 i  1 . Diese
a
b
v
x 
Gleichung lässt sich auch so interpretieren, dass die Berührpunkte Pi   i  auf einer
 yi 
u x v  y
Geraden mit der Gleichung 2  2  1 liegen. Damit hat man die Polare gefunden.
a
b
2.5.34: Was passiert mit V # , wenn V auf einer Geraden läuft?
u
 1 . Auf ihr liege der Punkt V    , dessen
a
b
v
u x v  y
c u d  v
Polare die Gleichung V # : 2  2  1 hat. Dass V auf g liegt, bedeutet, dass 2  2  1
a
b
a
b
c
gilt. Diese Gleichung lässt sich aber auch so interpretieren, dass der Punkt g #    auf V #
 d
Die Gerade g lässt sich schreiben als g:
cx
2

d y
2
liegt. Also: Wandert V auf g, so dreht sich V # um g # .
2.5.6: Schreiben Sie ein Makro, das zu jedem Punkt (unabhängig davon, ob er auf, außerhalb oder
innerhalb der Ellipse liegt) die zugehörige Polare konstruiert.
Lassen Sie sich hierbei von der Polarengleichung
x u
2
a

yv
b2
 1 leiten. Die Polare schneidet die x-
 a2 / u 
Achse (Hauptscheitelachse) in 
und die yAchse (Nebenscheitelachse) in
 0 


 0 
 2  .
b / v 
Die folgenden Aufgaben helfen Ihnen, das Polarenmakro zu schreiben:
2.5.6a: Zu einer Ellipse gehört nicht nur ein (Haupt)Scheitelkreis, sondern auch ein
Nebenscheitelkreis. Schreiben Sie ein Makro, das beide Scheitelkreise und die Achsen der Ellipse
konstruiert.
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u
2.5.6b: Wie kommt man vom Punkt   zum Punkt
0
25
 a2 / u 

 ?
 0 
Hierbei ist nebenstehende Figur hilfreich; begründen Sie ihre Richtigkeit.
2.5.6b: Dies ist der Höhensatz. Man muss nur noch den erhaltenen Punkt am Ursprung
spiegeln.
u
2.5.6c: Sie sollten jetzt in der Lage sein, zu   die zugehörige Polare zu konstruieren.
v
Experimentieren Sie mit Ihrem neuen Werkzeug!
u
2.5.6c: Man projiziert   auf die Achsen, wendet auf die so erhaltenen Punkte das
v
Verfahren von 2.5.6b an (auf der xAchse mit dem Hauptscheitelkreis und auf der yAchse
mit dem Nebenscheitelkreis) und hat damit zwei Punkte der gesuchten Polare.
2.6 Hüllkurven
In 2.1.34 haben Sie gesehen, dass FM auf der Ellipsentangente senkrecht steht und dass M auf dem
Scheitelkreis liegt.
2.6.1: Wenn nun M den Scheitelkreis durchläuft und immer die Senkrechten zu FM durch M
gezeichnet werden, so bekommt man alle Tangenten der Ellipse:
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26
Die Ellipse erscheint als Hüllkurve ihrer Tangenten.
Das Prinzip sei hier noch einmal vorgerechnet; bei der praktischen Durchführung ist ein
f
 cos  
ComputerAlgebraSystem hilfreich. Es sei F    der Brennpunkt und M  r  
 ein Punkt auf
0
 sin  
dem Scheitelkreis. Die Senkrechte zu FM durch M hat dann die Gleichung (X  M)  (M  F)  0 . Sie
 cos  
schneidet sich mit der zu r  
 gehörigen Senkrechten in einem gewissen Punkt, und nach
 sin  
Ausführung des Grenzübergangs    erhält man den Berührpunkt
von dem man leicht nachrechnet, dass er die Gleichung
x2
a2

y2
b2
 a   a  cos   f  
1

,
a  f  cos   b2  sin  
 1 erfüllt.
2.7 Hüllkurven von Kreispolaren
Analog zu 1.7 lassen sich nunmehr Hüllkurven von Polaren betrachten. Um die Rechnung zu
vereinfachen, gehen wir allerdings nicht von einer allgemeinen Ellipse aus, sondern von einem Kreis.
Dieser Kreis heißt Grundkreis. Alle Polaren werden bezüglich dieses Grundkreises gebildet.
Ein Punkt V laufe auf einem anderen Kreis (dem Polkreis). Was passiert mit seinen Polaren?
2.7.1: Erzeugen Sie folgende Bilder (der Grundkreis ist durchgezogen, der Polkreis ist gepunktet).
Wenn Sie besonders schöne Bilder haben wollen, empfiehlt es sich, diese mit Hilfe einer
Programmiersprache zu erzeugen.
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27
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28
2.7.2: Versuchen Sie, die folgenden Rechnungen nachzuvollziehen; ein ComputerAlgebraSystem
mag dabei hilfreich sein:

Der Grundkreis habe die Gleichung x2  y2  1 ; der Polkreis habe den Mittelpunkt   und den
0
Radius , also die Gleichung  x     y2  2 ; ein beliebiger Punkt auf ihm ist dann
2
    cos  
#
U  
 ; die zugehörige Polare ist U : x      cos   y  sin   1 .

sin



Sie schneidet sich mit dem analogen U # in einem Punkt, und nach einem Grenzübergang   
gelangt man zum Berührpunkt mit der Polarenkurve. Dieser ist
 cos  
1

.
    cos   sin  
Um was für eine Kurve handelt es sich?
Ist der Polkreis zum Grundkreis konzentrisch, also   0 , so bekommt man natürlich wieder einen
Kreis.
Ansonsten hilft eine Entparametrisierung:
x
 cos  
1
cos 
x 

Aus   
, also cos  
.
 folgt x 
y
sin




cos





cos

1

x 
 


2
Dann ist y 
sin2 
    cos 2
 1  x  2
 1
 2  1  x  2


x  x 
1  x 
1 
 x2 ,
2 2
2
 cos2  


cos2 
x






1  cos2 
2
2
und folglich ist y2 2  1  2  x   x2  (2  2 ) die Gleichung der Polarenkurve.
Hier sind mehrere Fälle zu unterscheiden:
a.)    Der Polkreis geht also durch den Mittelpunkt des Grundkreises.
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29
Die obige Gleichung vereinfacht sich zu y2 2  1  2  x  ; es handelt sich um eine Parabel.
Durch Umformen der Parabelgleichung zu x 
 1 / (2 ) 
1  2
  y erkennt man den Scheitelpunkt 

2  2
 0 
0
und den Brennpunkt   .
0
Die Parabel hat also den Grundkreismittelpunkt als Brennpunkt.
Wird der Polkreisradius größer, verringert sich der Abstand zwischen Scheitelpunkt und Brennpunkt,
so dass die Parabel enger wird.
b.)    Der Polkreis umschließt also den Mittelpunkt des Grundkreises.
Mit d2  2  2 vereinfacht sich die obige Gleichung zu x2  d2  2  x   y2 2  1 bzw. zu
2
d4 

 x  2   y2  d2  1 .
2 
  d 
Es handelt sich um eine in xRichtung verschobene Ellipse mit den Halbachsenlängen a 
1
b  sowie mit den Brennpunkten
d

d2
und
 2  
0
 2
2
  und      .
0
 
 0 


Der Grundkreismittelpunkt ist somit einer der Brennpunkte der Polarellipse.
c.) Im Fall    ergibt sich eine Hyperbel, deren einer Brennpunkt der Grundkreismittelpunkt ist.
Diese Kurve werden Sie näher im Abschnitt M 3 kennenlernen.
Jörg Meyer
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30
2.7.3: Das Ergebnisse von 2.7.2b (und analog auch das von 2.7.2c) hätte man auch anders und
einfacher erzielen können:
Wenn es sich bei der Polarenkurve um eine Ellipse (oder um eine Hyperbel) handelt (was die
Graphiken nahelegen), so sind aufgrund der Symmetrie der ganzen Konfiguration zur xAchse deren
f
g
Brennpunkte als   und   (mit noch unbekannten f und g) anzunehmen. Nun kann man die
0
0
f
g
Eigenschaft 2.4.5 anwenden. Demnach muss d(  ,U# )  d(  ,U# )   mit noch unbekanntem
0
0
f      cos    1
f
konstanten  sein. Wegen d(  ,U# ) 
ist diese Bedingung äquivalent zu
0
2  2  cos   2
 f   f  cos   1   g   g  cos   1   2  2  cos   2 
bzw. zu


f  g 2  cos2   cos  2  f  g   f   g    f  g 2  f   g   1   2  2   cos   2 .
Koeffizientenvergleich liefert:
f  g  0 , also etwa g  0
f  2  


f   1   2  2 ,


woraus  2  2  1 und f 
2 
2
  2
folgt.
Ist    , so ist  positiv. Beide Brennpunkte liegen dann auf derselben Seite von U# ; es handelt
sich also um eine Ellipse.
Ist    , so ist  negativ. Sie werden bald lernen, dass es sich dann um eine Hyperbel handelt.
2.8 Andere Ellipsenkonstruktionen
2.8.1a: Gibt es ein Analogon zu 1.8.1 auch für die Ellipse?
 a
 a 
k 
2.8.1: Es sei S    , T    , L    mit k  a und variablem v. TL hat die Gleichung
0
0
v
v
a k
y
 (x  a) , und SP hat die Gleichung y 
 (x  a) . Man rechnet nach, dass der
ak
v
ka 2
 a erfüllt.
Schnittpunkt die Gleichung x2  y2 
k a
Man kann sich eine Parabel denken als eine Ellipse, deren einer Scheitelpunkt „ins Unendliche
gewandert“ ist. Entsprechend sollte die Senkrechte zur ParabelLeitgeraden f ersetzt werden durch
eine Gerade, die durch den zweiten Scheitelpunkt geht. Liegen nun beide Scheitelpunkte auf
derselben Seite von f, so bekommt man eine Ellipse:
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Kegelschnitte mit Geometrie-Software
31
Allerdings ist f nicht die Leitgerade der entstehenden Ellipse!
2.8.1b: Begründen Sie Ihre Beobachtungen! Zum Rechnen ist ein ComputerAlgebraSystem
hilfreich.
2.8.2: Eine Leiter gleite an einer rechtwinkligen Wand. Welche Kurve beschreibt dabei ein fester
Punkt auf der Leiter?
2.8.2: Offenbar erhält man einen Ellipsenbogen, was man rechnerisch leicht bestätigt:
2
2
x
s2  y2
x
x y
Es sei P    . Dann gilt (ähnliche Dreiecke!), dass 
, also       1 .
y
t
s
t s
 
Mit einer geometrischen Überlegung kommt man auch zum Ziel:
Man ergänze OYP zu einem Parallelogramm OYPQ. Dann bewegt sich Q auf einem Kreis.
Aufgrund der Ähnlichkeit der Dreiecke KXP und KOQ ist das Streckenverhältnis
immer dasselbe.
P bewegt sich demnach auf einem gestauchten Kreis.
KP s

KQ t
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32
2.8.3: Ein rechter Winkel rotiere um einen festen Punkt F innerhalb eines Kreises (Zentrum Z). Die
Schenkel erzeugen jeweils eine Sekante. Verifizieren und begründen Sie: Die Sekanten hüllen eine
Ellipse ein, deren Brennpunkte F und Z sind. (Bei der Begründung ist ein ComputerAlgebraSystem
hilfreich.)
0
2.8.3: Der Kreis (es ist nicht der Leitkreis!) habe den Radius r und den Mittelpunkt Z    ;
0
f
ferner sei F    . Eine Gerade g mit der Gleichung y  m  x  n habe mit dem Kreis die
0
 x1 
 x2 
Schnittpunkte S    und T    ; sie bestimmen sich nach der Schnittgleichung
 y1 
 y2 


x2  1  m2  2  m  n  x  n2  r2  0 ; nach Vieta ist dann x1  x2 
x1  x2  
2 m n
1  m2
.
n2  r2
1  m2
und
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Kegelschnitte mit Geometrie-Software
Damit SF auf TF senkrecht steht, muss
y1
y
 2  1 sein. Hieraus folgt
x1  f x2  f
m  x1  n m  x2  n

 1 und damit m  x1  n  m  x2  n   x1  f    x2  f   0 , was man
x1  f
x2  f


leicht zu m2  1  x1  x2  m  n  f    x1  x2   n2  f 2  0 umrechnet. Setzt man in diese
Gleichung die obigen Ergebnisse nach Vieta ein, so erhält man

 1  m2  mn  f   12mm2n  n2  f2  0 , und dies vereinfacht sich zu
m2  1 
n2  r2
2  n2  2  m  n  f
1  m2
 r2  f 2 .
 0   m 
 f   m 
  
 n   
 n
0  1 
0  1 
n   f  m  n


Andererseits ist d(Z, g)  d(F, g) 
, und dieser


m2  1
m2  1
m2  1
Ausdruck ist nach dem eben Berechneten so groß wie
handelt es sich bei der Hüllkurve um eine Ellipse.
r2  f 2
, also konstant. Nach 2.4.5
2
33
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Kegelschnitte mit Geometrie-Software
34
3. Hyperbeln
3.1 Allgemeine Eigenschaften
Ein Ellipsenpunkt wurde konstruiert als Schnittpunkt von ZK mit der Mittelsenkrechten zu FK.
3.1.0: Was passiert, wenn man diese Konstruktion auch für den Fall ausführt, dass F außerhalb des
Leitkreises liegt?
Die entstehende Figur heißt Hyperbel.
3.1.0: Für den linken Ast ist d(P, k) nicht die kürzeste, sondern die längste Entfernung d(P, K)
für Punkte K auf dem Kreis k.
Die gemeinsame Kennzeichnung ist: „d(P, k) ist die extremale Entfernung d(P, K)“. Die
Überlegungen zur Ellipse bleiben davon unberührt.
Hier sieht man übrigens, dass sinnvolle Definitionen nicht willkürlich sein können.
3.1.1: Eine Hyperbel besteht aus allen Punkten, die zu einem Kreis k (dem Leitkreis) und zu einem
Punkt F (dem Brennpunkt), der außerhalb von k liegt, denselben Abstand haben.
Wie ist jetzt der Abstand zwischen Punkt und Kreis zu definieren?
3.1.27c: Übertragen Sie die bei der Ellipse angestellten allgemeinen Überlegungen auf die Hyperbel!
Schreiben Sie dazu geeignete Makros, und experimentieren Sie mit ihnen!
3.1.27c: Die die Hyperbel definierende Gleichung ist jetzt d( P, F)  d( P, Z)  r . Der
Scheitelkreis hat auch hier den Mittelpunkt
ZF
und den Radius r/2. Die Scheitelpunkte der
2
Hyperbel liegen auf ihm.
Zum Hyperbolspiegel: Jeder von Z kommende Strahl wird an einem Hyperbelast so
reflektiert, als käme er ohne Reflexion direkt von F.
Jörg Meyer
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35
Leitgerade g und der begleitende Drachen PFVK ergeben sich genauso wie bei der Ellipse.
3.2 Gleichungen
Nehmen Sie als Ursprung des Koordinatensystems wieder den Mittelpunkt des Scheitelkreises, also
f
 f 
die Mitte zwischen Z und F. Es sei F    , also Z      F . Der Leitkreis habe den Radius r.
 0
0
Sinnvolle Abkürzungen:
r
 a und a2  f2  b2 .
2
3.2.1: Begründen Sie die Streckenlängen auf dem nachstehenden Bild.
x
 xf 
 a  , wobei das obere Zeichen für den
3.2.2: Für einen Hyperbelpunkt P    gilt: d(P,F)   
 a

y
rechten Hyperbelast und das untere Zeichen für den linken gilt.
3.2.2: P ist durch d(P, Z)  d(P,F)   2  a charakterisiert; das obere Zeichen gilt für den rechten
Hyperbelast., das untere für den linken.
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36
Ferner ist (wie bei der Ellipse) d(P, Z)2  (x  f)2  y2 und d(P,F)2  (x  f)2  y2 , also
d(P, Z)2  d(P,F)2  4  x  f .
Mithin ist d(P, Z)  d(P,F) 
d(P, Z)2  d(P,F)2 4  x  f
2x  f


, was zusammen mit
d(P, Z)  d(P,F)
 2a
a
 xf 
 a  ist.
d(P, Z)  d(P,F)   2  a ergibt, dass d(P,F)   
 a

x2
3.2.3: Leiten Sie hieraus die Hyperbelgleichung 2
a

y2
b2
 1 her.
 a / cos t 
3.2.4: Sie können einen beliebigen Hyperbelpunkt P auch schreiben als P  
.
 b  tant 
 a  cosh  
Wenn Sie diese Funktionen kennen: P  
 ist eine weitere Parameterdarstellung.
 b  sinh  
 x0 
x x
yy
3.2.5: Die Tangente zu dem Hyperbelpunkt   hat die Gleichung 2 0  2 0  1 .
a
b
 y0 
3.2.6: Zeigen Sie, dass die Leitgerade die Gleichung g: x 
a2
hat.
f
f
3.2.7: Für jeden Hyperbelpunkt P gilt also d(P,F)   d(P, g) mit   .  heißt numerische
a
Exzentrizität.
f  a2 
 xf 
 a    x   .
3.2.7: Zur Exzentrizität: Man schreibe d(P,F)   
a 
f 
 a

Für den rechten Hyperbelast ist d(P, g)  x 
a2
a2
, für den linken Ast ist d(P, g)   x .
f
f
f
Daher ist d(P,F)   d(P, g) .
a
Die numerischen Exzentrizitäten verteilen sich wie folgt:
Eine Ellipse besteht aus allen Punkten P mit d(P,F)   d(P, g) , wobei 0    1 ist.
Bei einem Kreis ist a  b , also f  0 und damit   0 , und die Leitgerade ist „im Unendlichen“, so dass
die Gleichung d(P,F)   d(P, g) keinen rechten Sinn ergibt.
Eine Hyperbel besteht aus allen Punkten P mit d(P,F)   d(P, g) , wobei 1   ist.
Eine Parabel besteht aus allen Punkten P mit d(P,F)   d(P, g) , wobei   1 ist.
Es ist zwar historisch nicht korrekt, aber man kann sich die Namen der Kegelschnitte so erklären:
Bei der Parabel (Gleichnis) hat man Gleichheit von  und 1; bei der Ellipse (Mangel) mangelt es dem 
an der Eins; bei der Hyperbel (Übertreibung) übertrifft das  die Eins.
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37
3.3 Konstruktionsaufgaben
3.3.12: Formulieren Sie die Analoga zu 1.3.12 bzw. 1.3.12, und lösen Sie sie.
3.3.12: Offensichtlich. Man orientiere sich dabei an den Bildern.
3.3.3: Eine Hyperbel liege mit ihren Achsen gezeichnet vor. Konstruieren Sie die Brennpunkte.
Die folgenden Teilaufgaben helfen Ihnen, dies Problem zu lösen.
Natürlich kann man sofort den Scheitelkreis zeichnen, so dass man a erhält. Das weitere Vorgehen ist
ein wenig raffinierter als bei der Ellipse.
 xP 
Man nehme sich einen beliebigen Hyperbelpunkt P (P soll natürlich kein Scheitelpunkt sein). P   
 yP 
xP2

yP2
 1 , wobei b noch unbekannt ist. Rechnerisch wäre die
a2 b2
Ermittlung von b kein Problem, aber wir suchen eine konstruktive Lösung.
erfüllt bekanntlich die Gleichung
 xP 
Zunächst konstruieren wir den Punkt Q    , der dieselbe xKoordinate wie P hat, aber die
 yQ 
2
x2 y
Gleichung 2P  Q2  1 erfüllt.
a
a
3.3.3a: Begründen Sie, weshalb die folgende Konstruktion den Punkt Q liefert:
X sei das Lot von P auf die xAchse. Q wird so konstruiert, dass d(X, S)  d(X, Q) ist.
Jörg Meyer
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38
3.3.3a: Nach Pythagoras ist QX2  XS2  OX2  OS2 , also y2Q  xP2  a2 .
3.3.3b: Begründen Sie, dass
yP b
 ist.
yQ a
3.3.3b: Dies folgt aus
xP2
a2

2
xP2 yQ

 1 durch Elimination von xP2 .
und

1
2
2
2
a
a
b
yP2
3.3.3c: Man bekommt jetzt b mit Hilfe der folgenden Konstruktion. Dabei ist P’ der Spiegelpunkt von
P bezüglich X.
3.3.3c: Y ist der Schnittpunkt des Scheitelkreises mit der yAchse. QY schneidet die xAchse
in Z. ZP’ schneidet die yAchse in W. Aufgrund der Strahlensätze ist dann b = OW.
3.3.3d: Wie kommt man jetzt zu den Brennpunkten?
3.3.3d: Wegen f2  a2  b2 ist f leicht mit Hilfe eines rechtwinkligen Dreiecks konstruierbar.
Jörg Meyer
Kegelschnitte mit Geometrie-Software
39
3.3.4: Bearbeiten Sie das Analogon zu 1.3.4 bzw. 2.3.4.
3.3.4: Eine Hyperbel liege mit ihren Achsen gezeichnet vor. Man konstruiere die Tangenten
von einem Punkt Q außerhalb der Hyperbel.
Wie bei der Ellipse orientiert man sich an folgendem Bild: FM steht auf t senkrecht, und M
liegt auf dem Scheitelkreis.
Daher schlage man einen Thaleskreis über QF. Dieser schneidet den Scheitelkreis in M und N.
Dann sind QM und QN die gesuchten Tangenten.
3.4 Asymptoten
3.4.1: Wenn man einen Punkt K auf dem Leitkreis laufen lässt und jeweils zu K den Hyperbelpunkt
samt Tangente konstruiert, so sieht man, dass es auch Tangenten durch das Hyperbelzentrum O gibt.
Versucht man nun, zu diesen Tangenten den Berührpunkt zu konstruieren (Spiegelung von F an t
liefert K; P ist Schnittpunkt von ZK mit t),
Jörg Meyer
Kegelschnitte mit Geometrie-Software
40
so stellt man fest, dass jetzt ZK zu t parallel ist, der gesuchte Berührpunkt P also „im Unendlichen“
liegt:
Die vermeintliche Tangente ist also in Wirklichkeit gar keine. Solche vermeintlichen Tangenten
heißen Asymptoten.
3.4.2: Gegeben seien F und k. Konstruieren Sie die Asymptoten, und begründen Sie die Konstruktion.
3.4.2: FK muss auf KZ senkrecht stehen. Also ist K der Schnittpunkt von Leitkreis und
Thaleskreis über ZK. Die Mittelsenkrechte zu KF ist dann eine Asymptote.
x2
y2
b
 1 haben die Gleichungen y    x . Hieraus folgt eine
a
a b
einfachere Konstruktion der Asymptoten.
3.4.3: Die Asymptoten zu
2

2
3.4.3: Leitkreis mit  x  f   y2  4  a2 und Thaleskreis mit x2  y2  f2 schneiden sich in
2
1  a2  b2 
1  b2 
b
K  
, also ist M   

 . Die Steigung von OM ist somit  .



f   2  a b 
f   a b 
a
Dass die Asymptote tatsächlich Asymptoteneigenschaften hat, sieht man rechnerisch so ein:
Jörg Meyer
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b
b
Mit yHyp   x2  a2 und y As   x folgt:
a
a
y As  yHyp 
2
y2As  yHyp
y As  yHyp
b
a2
x 
 

0 .
2
2
a x  x a
Zur Asymptotenkonstruktion: OR ist die Asymptote.
3.4.4: Für jede Hyperbelsekante gilt (mit den Bezeichnungen wie auf den nachstehenden Bildern):
d(A,B)  d(C,D) .
41
Jörg Meyer
Kegelschnitte mit Geometrie-Software
42
3.4.4: Es sei y  m  x  n die Gleichung einer beliebigen Sekante. Die Berechnung der
Schnittpunkte A und C mit der Hyperbel


x2
a2

y2
b2
 1 führt zur quadratischen Gleichung
b2  x2  a2  m2  x2  2  m  n  x  n2  a2  b2 . Hieraus folgt nach Vieta, dass der Mittelpunkt U
 a2  m 
n
 gegeben ist.
von A und C durch U  2 2 2  
b  a  m  b2 
Dasselbe Resultat erhält man, wenn man die Schnittpunkte D und B der Sekante mit den
Asymptoten berechnet und deren Mittelpunkt V bestimmt.
3.4.5: Man kann aus den Asymptoten und einem einzigen Hyperbelpunkt jeden anderen
Hyperbelpunkt erhalten. Wie?
3.4.5: Durch einen Hyperbelpunkt A und einen auf einer Asymptote sich bewegenden Punkt
B wird eine Sekante gelegt. Auf diese Weise bekommt man die gesamte Hyperbel mit ihren
beiden Ästen.
3.5 Weitere Eigenschaften der Tangenten
3.5.1: Analogisieren Sie 2.4.1a, 2.4.2 und 2.4.5.
3.5.1: Alles wörtlich wie bei der Ellipse.
Analogon zu 2.4.5: Es ist d(F,M)  d(Z,R) .
Somit folgt aus dem Sehnensatz:
d(F,M)  d(Z,N)  d(Z,R)  d(Z,N)  d(Z, A)  d(Z,B)   f  a    f  a   b2 .
Da Z und F auf verschiedenen Seiten der Tangente liegen, ist d(F,M)  d(Z,N)  b2 .
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3.6 Polaren
3.6.15: Analogisieren Sie 1.5.15 bzw. 2.5.15.
u x v  y
u
3.6.15: Alles offensichtlich fast wörtlich wie bei der Ellipse. Zu   gehört 2  2  1 .
a
b
v
3.6.6: Analogisieren Sie 2.5.6.
3.6.6a: Die Konstruktion des Nebenscheitelkreises ist aufgrund des folgenden Bildes
offensichtlich.
3.6.6c: Die Polare
u x
a2

 a2 / u 
schneidet
die
x-Achse
(Hauptscheitelachse)
in

1

 und
0
b2


vy
 0 
die yAchse (Nebenscheitelachse) in  2  . Damit ist die Polarenkonstruktion nur eine
 b / v 


leichte Modifikation des Ellipsenfalles.
3.7 Hüllkurven
Wie bei der Ellipse steht FM auf der Hyperbeltangente senkrecht, und M liegt auf dem
(Haupt)Scheitelkreis:
3.7.1: Wenn nun M den Scheitelkreis durchläuft und immer die Senkrechten zu FM durch M
gezeichnet werden, so bekommt man alle Tangenten der Hyperbel:
43
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Die Hyperbel erscheint als Hüllkurve ihrer Tangenten. Die Rechnung ist analog zum Ellipsenfall.
3.8 Andere Hyperbelkonstruktionen
3.8.1: Analogisieren Sie 2.8.1. Man erhält folgendes Bild:
3.8.2: Der Kreis mit der Gleichung x2  y2  r2 ist eine besonders symmetrische Ellipse. Eine
besonders symmetrische Hyperbel hat entsprechend die Gleichung x 2  y 2  r 2 ; sie heißt
rechtwinklige Hyperbel (warum?). Eine verblüffend einfache Konstruktion einer rechtwinkligen
Hyperbel ist die folgende:
44
Jörg Meyer
Kegelschnitte mit Geometrie-Software
45
Gegeben sind ein Kreis und ein Durchmesser. M durchlaufe den Kreis. Die Kreistangente durch M
schneidet den Durchmesser in D. Man errichtet die Senkrechte zum Durchmesser in D.
Dann liegt derjenige Punkt H auf der Senkrechten, für den DM = DH ist, auf einer rechtwinkligen
Hyperbel, die den Ausgangskreis zum Scheitelkreis hat.
3.8.2: Die Asymptoten sind y   x ; sie stehen aufeinander senkrecht.
3.8.2a: Begründen Sie die Konstruktion.
Warnung: Wenn man die beschriebene Konstruktion mit einer Ellipse statt mit einem Kreis ausführt,
bekommt man keine Hyperbel (obwohl die entstehende Kurve so ähnlich aussieht).
 cos  
3.8.2a: Es sei M  a  
 . Die Kreistangente durch M hat dann die Gleichung
 sin  
 cos  
 a / cos  
X 
  a ; sie schneidet die xAchse in D  
 . Wegen DM  a  tan  ist
 sin  
 0 
 1 / cos  
H  a
 ; die Hyperbel ist also rechtwinklig.
 tan  
x
x
Andere Lösung: Es sei H    , also D    . Nach dem Satz von Pythagoras ist DM2  x2  a2
y
0
, also gilt wegen DM2  DH2  y2 auch y2  x2  a2 und damit x2  y2  a2 .
 a  cos  
Zur Warnung: Zum Ellipsenpunkt 
 gehört der Kurvenpunkt
 b  sin  
a

1 
 , woraus nach Elimination von  die Kurvengleichung

cos   sin  a2  sin2   b2  cos2  
x4  x2  y2  2  x2  a2  x2  b2  a4  a2  b2  0 folgt.
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46
3.8.2b: Es sei L das Lot von M auf die xAchse. Dann ist LH die Hyperbeltangente zu H.
 a  cos  
3.8.2b: Mit den Bezeichnungen der 1. Lösung zu 3.8.2a ist L  
 , und die zu
 0 
 1 / cos  
H  a
 gehörige Tangente hat die Gleichung x  y  sin   a  cos  .
 tan  
3.9 Eine Klausuraufgabe
3.9.1: F und G seien zwei feste Punkte. Ein beliebiger achsenparalleler Strahl soll bei P in Richtung F
reflektiert werden; vor Erreichen von F soll er abermals bei H in Richtung G reflektiert werden.
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47
a. Auf welcher Kurve liegt P? Begründen Sie die entsprechende Eigenschaft.
b. Auf welcher Kurve liegt H? Begründen Sie die entsprechende Eigenschaft.
c. Wozu kann man die gesamte Anordnung verwenden?
3.9.1: P liegt auf einer Parabel mit dem Brennpunkt F. H liegt auf einer Hyperbel mit den
Brennpunkten F und G. Kann aus irgendwelchen Gründen der Empfänger nicht bei F sein, so
lässt sich mit dieser Anordnung den Brennpunkt verlegen.
3.10 Über Ellipsenspiegel
Flüstergalerien sind oftmals elliptisch gebaut. Der Sprecher F steht in einem Brennpunkt, der Hörer G
im anderen.
Wenn sich noch andere sprechende Personen in der Flüstergalerie befinden, könnte man der
Meinung sein, dass sich deren Unterhaltungen störend auf das Gespräch zwischen F und G
auswirken. Sie werden sehen, dass diese Meinung falsch ist. Für die Rechnungen ist ein
ComputerAlgebraSystem hilfreich.
3.10.1: Ein (Licht oder Schall) Strahl wird an der Flüstergalerie mehrmals reflektiert. Zeigen Sie: Der
Strahl hüllt zusammen mit seinen Reflexionen eine Ellipse oder Hyperbel ein, deren Brennpunkte
diejenigen der Flüstergalerie sind.
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48
 a  cos  
3.10.1: Es sei V  
 ein Ellipsenpunkt. Wir betrachten zunächst eine Gerade g durch
 b  sin  
 m 
V mit der Steigung m. Ihre Gleichung ist g : X  
  m  a  cos   b  sin  . Das
 1 
f
 f 
Abstandsprodukt zu den beiden Brennpunkten   und   der Ellipse (mit f2  a2  b2 )
0
0
beträgt (nach einiger Rechnung)
  f     f  
b2  cos2   2  m  a  b  sin  cos   m2  a2  sin2 
d    , g   d    , g   b2 
.
1  m2
0   0  
Spiegelt man die Gerade g an der Ellipsennormalen durch V, so erhält man g’ mit der
Steigung m’.
 a  cos  
 b  cos  
Die Ellipsennormale hat die Gleichung h: X  
   
 . Dass g und g’
 b  sin  
 a  sin  
spiegelbildlich zu ihr liegen, wird durch die einfache Beziehung cos (h,g)  cos (h,g')
 1   b  cos  
 1   b  cos  
  

  

m   a  sin  
m'
a  sin  

   
beschrieben, die sich ausführlich als
bzw. als
 1   b  cos    1   b  cos  
 
  

 m   a  sin    m'   a  sin  
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49
b2  cos2   2  m  a  b  sin  cos   m2  a2  sin2  b2  cos2   2  m' a  b  sin  cos   m'2  a2  sin2 

1  m2
1  m'2
schreibt. Nach dem Obigen ist diese Beziehung zu
  f     f     f     f  
d    , g   d    , g   d    , g'   d    , g'  äquivalent.
0   0   0   0  
3.10.2: Geht ein Strahl nicht durch einen Brennpunkt der Flüstergalerie, so tut es auch keine seiner
Reflexionen.
3.10.2: Nach 2.1.6 wird ein Brennpunktsstrahl in einen anderen Brennpunktsstrahl
reflektiert.
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Kunst und Fotos
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