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Institut f¨
ur Angewandte Mathematik
WS 2014/15
Prof. Karl-Theodor Sturm, Dr. Sebastian Andres
,,Einf¨
uhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie”
¨
1. Ubungsblatt
Abgabe bis Dienstag 14.10.2014 in der Vorlesungspause
¨
Wichtige Informationen zur Lehrveranstaltung und die Ubungsbl¨
atter finden Sie unter
http://wt.iam.uni-bonn.de/andres/teaching/einf-w-theorie/
Aufgabe 1
[5 Pkt ]
Ein gewisser Chevalier de M´er´e, der mit seinen Spielproblemen und deren L¨osungen durch
Pascal in die Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie eingegangen ist, wunderte sich
einmal Pascal gegen¨
uber, dass er beim Werfen mit 3 W¨
urfeln die Augensumme 11 h¨aufiger
beobachtet hatte als die Augensumme 12, obwohl doch 11 durch die Kombinationen 6 +
4 + 1, 6 + 3 + 2, 5 + 5 + 1, 5 + 4 + 2, 5 + 3 + 3, 4 + 4 + 3 und die Augensumme 12 durch
genauso viele Kombinationen erzeugt w¨
urde.
1. Welche Kombinationen ergeben die Augensumme 12?
2. War die Beobachtung von Chevalier de M´er´e nur ein Zufall oder steckt in seiner Argumentation ein Fehler? Falls es kein Zufall ist, berechnen Sie das Verh¨altnis zwischen
den Wahrscheinlichkeiten Augensumme 11 bzw. Augensumme 12 zu beobachten.
Aufgabe 2
[5 Pkt ]
Es sei I eine beliebige Indexmenge, und seien Fi , i ∈ I, σ-Algebren auf einer Menge Ω.
Fi = {A : A ∈ Fi f¨
ur alle i ∈ I} eine σ-Algebra ist.
1. Beweisen Sie, dass
i∈I
2. Zeigen Sie, dass die Vereinigung zweier σ-Algebren auf derselben Menge Ω im Allgemeinen keine σ-Algebra ist.
1
Aufgabe 3
[5 Pkt ]
Sei (E, E) ein Messraum und sei fk : E → R+ die Abbildung der Frequenzen der Ausg¨ange
eines Spiels
k
1
fk (A) :=
1lx ∈A ,
A ∈ E,
k i=1 i
wobei xi ∈ E den Ausgang des i-ten Spiels modelliert. Zeigen Sie, dass fk : E → R+ ein
Wahrscheinlichkeitsmaß auf (E, E) ist.
Aufgabe 4
[5 Pkt ]
Sei pn die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse von n Kindern wenigstens zwei am
gleichen Tag Geburtstag haben. Vereinfachend sei dabei angenommen, dass kein Kind am
29. Februar geboren ist und alle Geburtstage gleich wahrscheinlich sind. Zeigen Sie (unter
Verwendung der Ungleichung 1 − x ≤ e−x ), dass
pn ≥ 1 − exp − n(n − 1)/730 ,
und bestimmen Sie ein m¨oglichst kleines n mit pn ≥ 21 .
2
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