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Institut für Angewandte Mathematik 17.10.2014 Universität

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Institut f¨
ur Angewandte Mathematik
Universit¨at Heidelberg
Prof. Dr. R. Rannacher
17.10.2014
¨
Ubungen
Nr. 01
zur Vorlesung Numerik“ (WS 2014/2015)
”
Aufgabe 1.1 (6 Punkte): Der in der Vorlesung skizzierte konstruktive Beweis des Existenzsatzes von Peano sichert die gleichm¨aßige Konvergenz der diskreten“ Funktionen
”
uhi (Polygonzugmethode) f¨
ur (mindestens) eine Teilfolge (hi )i∈N gegen eine L¨osung u
der AWA.
a) Man zeige mit Hilfe eines Widerspruchsarguments, dass im Falle der Eindeutigkeit
der L¨osung der AWA die gesamte Folge“ der uh , d.h. jede Teilfolge (uhi )i∈N mit hi →
”
0 , gegen diese L¨osung u konvergiert. (Bemerkung: Dies entspricht der Tatsache, dass
beschr¨ankte Zahlenfolgen mit nur einem einzigen H¨aufungspunkt insgesamt gegen diesen
konvergieren.)
b) In der Kontrolltheorie hat man es h¨aufig mit AWAn zu tun, bei denen die Funktion
f (t, x) bzgl. des Arguments t (endlich viele) ,,Sprungstellen“ hat, d. h. Unstetigkeitsstellen mit existierendem (reellwertigen) rechts- und linksseitigem Limes. Man begr¨
unde, daß
der Peanosche Existenzssatz sowie der darauf basierende Fortsetzungssatz in diesem Fall
sinngem¨aß ihre G¨
ultigkeit behalten.
Aufgabe 1.2 (6 Punkte): Man gebe exakte L¨osungen f¨
ur die folgenden AWAn an:
a)
u (t) = −u(t)2 ,
t ≥ 0,
u(0) = −1;
b)
u (t) = u(t)1/4 ,
t ≥ 0,
u(0) = 1.
Es stellt sich die Frage, ob dies die einzigen L¨osungen sind. Dass dies tats¨achlich der
Fall ist, l¨asst sich mit Hilfe des in der Vorlesung noch herzuleitenden Stabilit¨atssatzes“
”
beweisen. Wird aber im Beispiel (b) die Anfangsbedingung zu u(0) = 0 ge¨andert, so
besitzt die zugeh¨orige AWA unendlich viele L¨osungen. Man verifiziere dies.
Aufgabe 1.3 (6 Punkte): In vielen F¨allen kann die Konvergenzordnung eines Grenzprozesses
a(h) → a (h → 0), a(h) − a = O(hα ),
nur experimentell bestimmt werden. Dazu werden bei bekanntem Limes a f¨
ur zwei Werte
h und h/2 die Fehler a(h) − a und a(h/2) − a berechnet und dann die Ordnung α u
¨ber
α
den formalen Ansatz a(h) − a = ch aus der folgenden Formel ermittelt:
α=
1
log
log(2)
a(h) − a
a(h/2) − a
.
bitte wenden
a) Man rekapituliere die Rechtfertigung dieser Formel und u
¨berlege, wie man vorgehen
k¨onnte, wenn kein exakter Limes a bekannt ist.
b) Man bestimme die inh¨arenten Konvergenzordnungen f¨
ur die folgenden Werte:
h
a(h)
b(h)
2−2
7.095485351135761
8.971800326329658
2−3
7.047858597600531
8.992881146463981
2−4
7.023726226390662
8.998220339291473
2−5
7.011579000356371
8.999559782988968
2−5
7.005485409034109
8.999895247704067
Limes
a(0) = 7.0
b(0) =?
Abgabe: Aufgabe 1.1 - 1.3 am Freitag, 24.10.2014, in der Vorlesung.
Aufgabe 1.4 (Praktische Aufgabe): Man berechne n¨aherungsweise den Wert u(1)
der L¨osung u(t) = tan(t) der AWA
u (t) = f (u(t)) = 1 + u(t)2 ,
t ≥ 0,
u(0) = 0,
mit Hilfe der
(1) Methode der sukzessiven Approximation“ (mit k hinreichend groß)
”
t
f (uk−1 (s)) ds, 0 ≤ t ≤ 1,
uk (t) = u0 +
k = 1, 2, . . . ,
u0 ≡ 0.
0
(2) Taylor-Methode“ (mit Schrittweite H = 1 und R hinreichend groß)
”
R
(R)
U1
= U0 + H
r=1
H r−1 (r−1)
f
(U0 ),
r!
U0 = 0,
f (r) :=
d
dt
r
f.
(3) Eulerschen Polygonzugmethode“ (mit hinreichend kleiner Schrittweite h := 1/N )
”
yn+1 = yn + hf (yn ), n = 0, 1, . . . , N, y0 = 0.
Man vergleiche den jeweils erforderlichen Aufwand zur Erreichung eines relativen Fehlers
von weniger als 10−r f¨
ur r = 1, 2, 3, 4.
Hinweis: Die Verfahren (1) und (2) k¨onnen f¨
ur kleines k bzw. r noch per Hand“
”
durchgef¨
uhrt werden. Zur Durchf¨
uhrung der Polygonzugmethode (3) schreibe man aber
ein MATLAB-Programm.
¨
Abgabe: Besprechung der Aufgabe 1.4 in den Ubungen.
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