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7) Querschnittswerte

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BAULEITER HOCHBAU
K U R S 2014 - 2015
STATIK / FESTIGKEITSLEHRE
7) QUERSCHNITTSWERTE
1) Einleitung
2) Schwerpunkt
3) Trägheitsmoment
4) Widerstandsmoment
5) Das statische Moment
6) Beispiele von
Querschnittstabellen
g.bettschen
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Querschnittswerte -
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g.bettschen -
Seite 2
1) Einleitung
In den folgenden Kapiteln lernen wir die Berechnung und Bemessung von stabförmigen
Bauteilen. Stabförmige Bauteile haben einen bestimmten Querschnitt.
Bei der statischen Berechnung zur Bemessung solcher Bauteile braucht
man die Querschnittswerte (auch Querschnittskennwerte genannt).
Unter Querschnittswerten versteht man unter anderem
 Lage des Schwerpunktes,
 die Querschnittsfläche
 die Trägheitsmomente und die Widerstandsmomente.
In der Festigkeitslehre werden noch weitere Arten von Querschnittswerten vewendet (z.B.
Trägheitsradius), auf diese speziellen Werte wird dann in einem späteren Teil
eingegangen.
Für einfache Querschnittsformen sind die Werte aus Tabellen ablesbar oder mit einfachen
Formeln schnell auszurechnen.
2) Schwerpunktsbestimmungen
a) Allgemeines
Jeden Körper kann man sich aus vielen kleinen, gleich grossen Massenteilchen, den
Massenpunkten, zusammengesetzt denken. Alle diese Massenteilchen erzeugen infolge
der Erdanziehungskraft (Schwerkraft) gleichlaufende, lotrechte Lasten.
Den Mittelpunkt aller dieser Massenkräfte eines Körpers, in dem man sich für statische
Untersuchungen seine Gesamtlast vereinigt denken kann, nennt man seinen
Schwerpunkt.
b) Definition vom Begriff Schwerpunkt
Als Schwerpunkt eines Körpers bezeichnet man den Angriffspunkt der
Resultierenden aller Massenteilchen dA welche durch parallele Kräfte im
Raum beansprucht werden. Die Wirkungslinie dieser Resultierenden nennt
man Schwerlinie.
Unterstützt man einen Körper in seinem Schwerpunkt, so bleibt er in jeder Lage in Ruhe,
im Gleichgewicht
Man balanciert die Scheibe so auf einer spitzen Nadel, dass sie horizontal schwebt. Der
Punkt, in dem die Nadel die Scheibe berührt, heißt Schwerpunkt.
In der Nadelspitze greift die Gewichtskraft an, hervorgerufen durch die Schwerkraft. Die
gleich große, von der Nadel aufgebrachte Gegenkraft hält den Körper. Dabei spielt es
keine Rolle, welche Form die Scheibe hat. Man kann sich vorstellen, dass die gesamte
Masse in einem Punkt konzentriert ist
Jede durch diesen Punkt gehende Linie heisst daher Schwerlinie.
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Die Lage des Schwerpunkts ist bei Körpern für Standfestigkeitsuntersuchungen und bei
Flächen für die Zug-, Druck-, Biege- und Knickfestigkeit von grosser Bedeutung.
Will man den Schwerpunkt eines Körpers,
z.B. den einer gleichmässig dünnen Platte,
praktisch bestimmen, so hängt man ihn an
zwei verschiedenen Punkten auf. Die
Lotrechten von den Aufhängepunkten sind,
wenn der Körper zur Ruhe gekommen ist, die
Schwerpunktlinien (R1 und R2 ).
D
A
B
B
C
R
1
R
A
S
D
1
C
R
Zeichnet man sie ein, so ist ihr Schnittpunkt S der Schwerpunkt der Fläche ABCD.
2
Der gesuchte Schwerpunkt des Körpers liegt hinter S in der Mitte der Platte.
Nach dem gleichen Grundsatz verfährt man bei der rechnerischen oder zeichnerischen
Bestimmung des Schwerpunktes. Nur dreht man jetzt nicht den Körper, sondern der
Einfachheit halber lässt man die Massenkräfte nach zwei verschiedenen, möglichst
winkelrecht zueinanderstehenden Richtungen wirken. Ferner nimmt man an, dass die
Körper aus gleichmässig dichtem (homogenen) Stoff bestehen. Dann ist die Lage des
Schwerpunkts nur von der Gestalt des Körpers abhängig.
Auch die Schwerpunkte von Linien und Flächen bestimmt man in ähnlicher Weise, indem
man sich diese Gebilde mit Massenkräften behaftet denkt. Man spricht dann von einer
materiellen Linie oder materiellen Fläche. Das Auffinden ihrer Schwerpunkte wird
erleichtert, wenn man beachtet, dass jede Mittellinie und jede Symmetrieachse eine
Schwerlinie ist.
c) Schwerpunkte von Teilflächen
Flächenschwerpunkt Liechtenstein
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d) Zusammengesetzte Flächen :
- Bei regelmässigen und spiegelgleichen Flächen liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt
zweier Spiegel- oder Mittelachsen.
- Beliebige Flächen unregelmässiger Gestalt unterteilt man in solche einfachen Flächen,
deren Inhalte und Schwerpunkte nach bekannten Regeln leicht anzugeben sind. In
einfachen Fällen ermittelt man die Lage des Schwerpunktes rechnerisch, bei schwierigeren
Figuren findet oft das Verfahren mit dem Seilpoygon Anwendung.
Berechnungsmethoden
Da der Schwerpunkt ein Durchgangspunkt der Mittelkraft aller Massenkräfte ist, lässt sich
seine Lage zeichnerisch mit Hilfe des Seilpolygons und rechnerisch mit Hilfe des
Momentensatzes ermitteln, wie es im folgenden für die verschiedenen geometrischen
Gebilde geschieht. Als gedachter Punkt kann er bei besonderen Formen der Körper,
Flächen oder Linien auch ausserhalb dieser Gebilde liegen.
* Symmetrische Flächen
Aus Symmetriegründen entspricht jedem
Flächenteilchen links der z-Achse ein
Flächenteilchen rechts der z-Achse.
Aus Gleichgewichtsgründen muss also die
Resultierende dieser Flächenteilchen identisch
sein mit der z-Achse.
Daraus kann folgender wichtiger Satz
abgeleitet werden :
z
y
dA mit der Masse 1
belast
et
 Jede Symmetrieachse einer
A =  A
Gesamtfläche A = Summe aller Teilflächen
Fläche ist gleich der Schwerlinie.
* Beliebige Flächen
Der Schwerpunkt einer Fläche liegt im Schnittpunkt von mindestens zwei Schwerlinien,
und da eine Schwerlinie auch die Resultierende der mit der Masse 1 belasteten Fläche dA
darstellt, kann der Schwerpunkt wie folgt berechnet werden :
Man teilt die Fläche in kleine Flächenteilchen auf, für die die Teilschwerpunkte aus
Symmetriegründen ermittelt werden können :
ys   dA  ys  A  y1  dA1  y 2  dA2...  yn  dAn
n
n
 y  dA  y  dA
i
ys 
i
i 1
n
 dA
i
i

i 1
A
n
i
 z  dA
i
// zs 
i
i 1
A
i 1
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e) Beispiele zu Schwerpunktsberechnungen
Achsen und Bezeichnungen:
Stabachse
x-x
‚Starke Achse‘
y-y
‚Schwache Achse‘ z - z
Beispiel a
2
Gesucht: Lage vom Schwerpunkt
1
1
1
Lösung:
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1
4
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Beispiel b
2
1
Gesucht: Lage vom Schwerpunkt
4
2
3
1
4
5
5
2
3
3
2
2
2
7
Lösung:
-
Einzeichnen eines frei wählbaren Koordinatensystems
Aufteilung in Teilflächen und Bestimmung deren Schwerpunktsabstände zu den
entsprechenden Koordinatenachsen
Berechnung aller Teilflächen mal deren Abstand y zur Koordinatenachse z
Berechnung aller Teilflächen mal deren Abstand z zur Koordinatenachse y
Summenbildungen und Berechnung der Schwerpunktslage ys und zs analog Beispiel a
z
2
1
A2
2
4
3
1
A3
A1
4
5
5
2
A4
3
3
2
A5
2
2
y
7
Praktisch für die Lösung von Querschnitten mit mehreren Teilflächen ist das Einsetzen der
Werte in eine Tabelle (Berechnung von Hand oder mit Tabellenkalkulationsprogrammen)
Bezeichnung
Fläche A
Nummer A1
Nummer A2
Nummer A3
Nummer A4
Nummer A5
Summen
3,00
6,00
16,00
6,00
14,00
45,00
Resultierende
auf z - Achse
z
zxA
7,50
8,50
7,00
3,50
1,00
=
22,50
51,00
112,00
21,00
14,00
220,50
4,90
y
yxA
1,50
4,00
7,00
6,00
5,50
auf y = Achse
4,50
24,00
112,00
36,00
77,00
253,50
5,63
Lösung: zs = 4.90 , ys = 5.63
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Beispiel c
Aus 16 Quadraten mit
den Seitenlängen 1
zusammengesetzte
Fläche
Lösung analytisch: Wählen von möglichst wenigen Teilrechtecken und dann Vorgehen
wie in Beispiel b.
Lösung: zs = 2.125, ys = 3.315
Lösung graphisch: (Nur zur Information, gehört nicht zum Pflichtstoff)
Da die Formeln für
die Schwerpunktsberechnung
mit denjenigen für die
Bestimmung von Resultierenden
identisch sind, kann
der Schwerpunkt auch
mit Hilfe des Seilpolygons
gefunden werden.
Man bestimmt für zwei
verschiedene Richtungen
die Resultierende aller
Flächenteilchen,
im Schnittpunkt
dieser Resultierenden
liegt dann
der Schwerpunkt der Fläche.
f) Schwerpunkte von Körpern
Im Bauwesen hat man es meist nur
mit prismatischen Körpern zu tun,
von denen man im allgemeinen nur
Teile von 1 m Länge oder 1 m Höhe
untersucht. Mit der Bestimmung des
Schwerpunktes der Grundflächen
dieser Prismen ist dann auch die
Lage des Körperschwerpunktes in
halber Länge hinter der Grundfläche
oder halber Höhe über oder unter ihr
gegeben.
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3) Das Trägheitsmoment
Als Trägheitsmoment einer Fläche bezüglich einer Achse bezeichnet man die Summe der
Produkte, die entstehen, wenn alle Flächenteilchen mit ihrem Abstand im Quadrat
bezüglich dieser Achse multipliziert werden.
Man bezeichnet sie daher auch als Flächenmomente zweiter Ordnung oder quadratische
Flächenmomente.
Sie sind rein mathematische Begriffe und nur von der Grösse und der Form einer
Fläche abhängig.
z
y
dA
z
dA
Iy z 2  dA(vertikal)
Iz y 2  dA(horizontal)
y
Das Trägheitsmoment ist also stets positiv
und hat die Dimension mm4 ( cm4 , dm4 , m4 )
Für die Festigkeitslehre sind besonders die Trägheitsmomente bezüglich von
Schwerachsen wichtig.
Trägheitsmomente bezüglich ihrer Schwerachsen
*Rechteck
A
h
I y   z  dA   b  z 2 dA
2
0
Iy = b h3 / 12
(bez. starker Achse)
Iz = h b3 / 12
(bez. schwacher Achse)
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Berechnung Trägheitsmomente:
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Berechnung Trägheitsmomente für Achsen, die keine Schwerachsen
sind (Satz von Steiner)
(Nur zur Information, gehört nicht zum Pflichtstoff)
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z
4) Das Widerstandsmoment
Unter dem Widerstandsmoment eines
Punktes versteht man den Quotient, der
entsteht, wenn man das Schwerpunktsträgheitsmoment durch den Abstand des
Punktes von der Schwerachse dividiert.
W( p )
I
 y
z
Seite 11
h
o
P
z
h/2
y
l
r
h/2
u
b
Meistens wird das Widerstandsmoment des oberen Randes (Wo), des unteren Randes
(Wu), des linken oder des rechten Randes (Wl, Wr) eines Querschnittes benötigt.
Beispiel: Berechnung Widerstandsmoment beim Rechteckquerschnitt:
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5) Das statische Moment
Das Statische Moment, oder auch Flächenmoment 1. Grades, wird immer auf den
Schwerpunkt bezogen berechnet. Es ist im Schwerpunkt am größten und in den am
weitesten vom Schwerpunkt entferntesten differentiell kleinen Teilflächen am Kleinsten
bzw. Null. Die Berechnung erfolgt analog der eines Momentes, nämlich: Summe aus
Teilflächen mal achsenbezogener Abstand aus Teilflächenschwerpunkt zu
Gesamtschwerpunkt (Summe aus Kraft mal Hebelarm). Es sind immer mindestens zwei
Statische Momente in einem Querschnitt vorhanden.
Das Statische Moment findet zum Beispiel bei der Ermittlung der
Schubspannungen Anwendung.
Trägheitsradius
Es gibt noch weitere Arten von Querschnittswerten, wie z.B. der Trägheitsradius.
Der Trägheitsradius wird bei der Knickberechnung verwendet, auf diesen speziellen Wert
wird dann im Kapitel 10) Das zentrische Knicken eingegangen.
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6) Beispiele von Querschnittstabellen
- Rechteck Teil 1 ( aus LIGNUM)
Aus Tabellen SZS
Siehe entsprechende Tabellenwerke
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Beispiel: Querschnittswerte
beim Rechteckbalken 100/200mm
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