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Lösungen Übungsblatt Nr. 4

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Prof. Dr. R. Plato
4. Übung zur Vorlesung Höhere Mathematik 3
Wintersemester 2014/15
Aufgabe 1 (4 Punkte). Berechnen Sie den Schwerpunkt eines homogenen Tetraeders, das durch
die drei Koordinatenebenen und die Ebene x C y C z D 1 berandet ist.
Aufgabe 2 (4 Punkte). Berechnen Sie unter Verwendung geeigneter Koordinaten den Schwerpunkt des homogenen Kreisringsegments
R D ¹.x; y/ j R12 x 2 C y 2 R22 ; 0 x y º:
Dabei sind R1 ; R2 2 R Konstanten mit 0 < R1 < R2 .
Aufgabe 3 (4 Punkte). Berechnen Sie unter Verwendung elliptischer Zylinderkoordinaten das
Volumen .K/ des elliptischen Kegels K R3 mit den folgenden Eigenschaften:
die Achse des Kegels stimmt mit der z -Achse überein,
die Spitze des Kegels zeigt nach oben,
der Kegel besitzt die Grundfläche xa2 C b 2 %2 und die Höhe h.
2
y2
Dabei sind a; b; % und h positive reelle Konstanten.
Abgabe der Lösungen spätestens am 4.11.2014 (Dienstag) um 10.00 Uhr in der Aula.
2
© R. Plato
Lösungen zur 4. Übung
Aufgabe 1. Das Tetraeder T R3 ist gegeben durch
®
¯
T D .x; y; z/ j x 0; y 0; z 0; x C y C z 1
®
D .x; y; z/ j 0 z 1; 0 y 1 z; 0 x 1
¯
y :
z
Für das Volumen .T / des Tetraeders T ergibt sich damit Folgendes:
R
.T / D
1 d xE D
T
D
R
1 1
2
0
.1
R1R 1
0
zR1 z y
0
0
ˇ yD1 z
y/2 ˇ yD0
z
1 dx dy dz D
dz D
R1
1
2
0
R 1R 1
0
z
0
1
2
z/ dz D
.1
z
1
.1
6
y dy dz
ˇ zD1
z/3 ˇ zD0 D 16 :
Für die Berechnung des Schwerpunktes xES D .xS ; yS ; zS / 2 R3 von T berechnet man zunächst
das folgende Integral:
R
T
x d xE D
D
D
R 1R 1
R
z 1 z y
0
0
1 1 z
.1 z
0 0
0
R R
1
2
1
.1
24
x dx dy dz D
1
2
0
z
0
1
.1
0
R
1
y/2 dy dz D
ˇ zD1
z/4 ˇ zD0 D
R 1R 1
6
1
:
24
ˇ xD1
x 2 ˇ xD0
z y
dy dz
ˇ
yD1 z
y/3 ˇ yD0 dz D
z
R
R1
1
6
0
.1
z/3 dz
R
Die gleichen Werte erhält man aus Symmetriegründen für T y d xE und T z d xE , denn T lässt sich
auch in der Form T D ¹.x; y; z/ j 0 z 1; 0 x 1 z; 0 y 1 z x º beziehungsweise
T D ¹.x; y; z/ j 0 x 1; 0 y 1 x; 0 z 1 x y º schreiben. Daher gilt
xS D yS D zS D
1 = 24
1= 6
D
6
24
D
1
4
bzw. xE D .xS ; yS ; zS / D
1
4
1
1
1
!
:
Aufgabe 2. Für den Kreisring R gilt unter Verwendung von Polarkoordinaten die Darstellung
R D ¹.r cos '; r sin '/ j R1 r R2 ; =4 ' =2 º. Für den Flächeninhalt .R/ von R
ergibt sich damit
.R/ D
D
R
R R2 R =2
1 d xE D R
R
1
4
R R2
R1
r dr D
r d' dr D
=4
ˇ
r 2 ˇ rDR2
4 2 rDR1
R R2
R1
.R22
8
D
Für den Schwerpunkt xES D .xS ; yS / 2 R2 gilt daher
1
xS D .R/
R
1
x d xE D .R/
D
D
D
1
R R2 R =2
1
r 2 cos ' d' dr D .R/
R1 =4
3ˇ
ˇ 'D=2 r ˇ rDR2
D
sin ' ˇ
3
'D=4
rDR1
.R/
p
3
8. 2 1/ R 2
p
3 2 R22
R13
R12
D
p
4.2
3
2/ R 2
R22
3
2
R12 /:
R
R2 2
r dr
R1
1
.R/
R13
R12
r dr
4
R23 R13
3
R
=2
1
cos ' d'
=4
p1
2
:
beziehungsweise analog
yS D
1
.R/
R
R
R
1
R2 2
=2
2
r
sin
'
d'
dr
D
sin
'
d'
r
dr
=4
R1
.R/
.R/ R1 =4
ˇ
3
3
3
3
1 R2 R1
'D=2
1 R2 R1
cos ' ˇ 'D=4 D
0 p1
D
3
3
.R/
.R/
y d xE D
D
1
R R2 R =2
8
D p
3 2
R23
R22
R13
R12
D
p
4 2
3
R23
R22
R13
R12
:
2
© R. Plato
3
Aufgabe 3. Die Koordinatentransformation besitzt hier die Form
T .r; '; ı/ D ar cos '; br sin '; z ;
mit r 0; 0 ' 2 und z 2 R. Sie ist stetig partiell differenzierbar, mit
0
a cos '
B
T 0 .r; '; z/ D B
@ b sin '
ar sin ' 0
br cos '
0
0
2
C
0C
A;
1
2
0
1
det T .r; '; z/ D abr cos ' C abr sin ' D abr:
Die Determinante der Ableitungsmatrix T 0 .r; '; z/ berechnet man z. B. durch Entwicklung nach
der letzten Zeile oder der letzten Spalte.
Der Kegel K besitzt die Darstellung
q
°
±
2
2
K D .x; y; z/ 2 R3 j 0 z h; xa2 C yb 2 %.1 z= h/
°
D .ar cos '; br sin '; z/ 2 R3 j 0 ' 2; 0 z h; 0 r %.1
Mit der Notation R.z/ D %.1
.K/ D
R h R R.z/ R 2
0
0
D 2ab
D
z= h/ für 0 z h erhält man Folgendes:
0
abr d' dr dz D 2ab
R h r 2 ˇ rDR.z/
0
ab%2 h
2
.1
ˇ
R
2 h
R h R R.z/
0
0
±
z= h/ :
r dr dz
dz D ab% 0 .1 z= h/2 dz
ˇ
z= h/3 ˇ zDh
ab%2 h
ab%2 h
3
1
D
.
1
h=
h/
D
:
ˇ
zD0
3
3
3
„ ƒ‚ …
D0
rD0
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