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3. Übung - Mathematisches Institut

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MATHEMATISCHES INSTITUT
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¨ ZU KOLN
DER UNIVERSITAT
apl. Prof. Dr. D. Horstmann
Dipl.-Wi.-Math. A. Barglowski
Wintersemester 2014/2015
22. Oktober 2014
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¨ Biologen und Chemiker
3. Ubung
zur Mathematik I fur
Allgemeine Hinweise:
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• Abgabe der Ubung:
am 29.10.2014 direkt nach der Vorlesung vor dem HS I der Chemie.
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• Besprechung der Ubung
am 06. bzw. 07.11.2014 in den Ubungen.
• Die Abgabe muss auf oben links zusammengetackerten DIN A4-Bl¨attern erfolgen.
• Auf Ihrer Abgabe muss deutlich lesbar auf der obersten Seite Ihr Name und Ihre
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Ubungsgruppennummer
stehen.
• Die Aufgaben sind so zu bearbeiten, dass der L¨osungsweg, die benutzten Formeln und die Rechnungen nachvollziehbar sind. Auch f¨ur L¨osungen mit richtigen Ans¨atzen k¨onnen Teilpunkte vergeben
werden; eine L¨osung ohne Rechenweg wird mit 0 Punkten bewertet.
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• Weitere Informationen zu den Ubungen
finden Sie unter http://www.mi.uni-koeln.de:8912
• Informationen zur Vorlesung (z.B. Vorlesungsfolien) finden Sie unter http://www.mi.unikoeln.de/ dhorst/
Aufgabe 1.
(10 Punkte, schriftlich) - direkter und indirekter Beweis -
Benutzen Sie 2 verschiede Beweismethoden, um zu zeigen, dass f¨ur beliebige a, b ∈ R mit a, b > 0 gilt
a b
+ ≥ 2.
b a
(i) (5 Punkte) Benutzen Sie die Methode des direkten Beweises. Starten Sie unter Verwendung einer
wahren Aussage und leiten Sie hieraus obige Ungleichung ab.
Hinweis: Starten Sie mit der Aussage (a − b)2 ≥ 0 und leiten Sie hieraus unter Verwendung der
binomischen Formel die obige Ungleichung ab.
(ii) (5 Punkte) Zeigen Sie nun die Behauptung mit Hilfe des indirekten Beweises. Nehmen Sie dazu an
die Behauptung sei falsch und f¨uhren Sie dies zu einem Widerspruch.
Aufgabe 2.
(12 Punkte, schriftlich) - vollst¨andige Induktion -
Zeigen Sie mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion die nachfolgenden Aussagen:
(i) (6 Punkte) F¨ur alle n ∈ N gilt
n
∑ k2 =
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
(ii) (6 Punkte) F¨ur jede nat¨urliche Zahl n ≥ 2 gilt
n
∑ k3 =
k=2
n2 (n + 1)2
− 1.
4
Hinweis: Teilaufgabe (ii) ist eine Klausuraufgabe des vergangenen Jahres.
Aufgabe 3.
(8 Punkte, schriftlich) - vollst¨andige Induktion und Binomialkoeffizient I -
Weisen Sie nach, dass die nachfolgende Gleichung f¨ur alle n ∈ N und alle k ∈ N mit k ≤ n g¨ultig ist:
n
n+1
m
= ∑
k+1
k
m=k
Hinweis: F¨uhren Sie eine vollst¨andige Induktion nach n durch. Im Induktionsschritt muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden.
Aufgabe 4.
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(mundlich)
- binomische Formeln und Faktorisierung-
Stellen Sie mit Hilfe der binomischen Formeln die folgenden Terme als Produkte dar.
(i) 5x2 + 3xy + y2 + xy − x2
(ii) 5b2 + 1 − 9b2
(iii) 16x2 − 72xy + 81y2
(iv) (2xy + 3z)2 − 12xyz − 18z2
(v) −4x2 − 12xy − 9y2
Aufgabe 5.
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(mundlich)
- vollst¨andige Induktion und Binomialkoeffizient II -
Betrachten Sie die folgenden zwei Aussagen:
F¨ur alle n ∈ N ist
n
∑
k=0
und
n
∑
k=0
n
= 2n
k
n
(−1)k = 0.
k
(i) Zeigen Sie, inwiefern diese beiden Aussagen aus dem Binomischen Lehrsatz folgen.
(ii) Beweisen Sie die erste Aussage nun ohne Benutzung des Binomischen Lehrsatzes mithilfe des Beweisprinzips der vollst¨andigen Induktion.
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