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Algebra (Lehramt Gymnasium)

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Kathrin Bild
Dr. Ralf Gerkmann
Freitag, 17. Oktober 2014
Algebra (Lehramt Gymnasium)
— Blatt 2 —
(Tutoriumsblatt)
Aufgabe 1
Seien G und H Gruppen.
(a) Wiederholen Sie die Definition des Begriffs Gruppenhomomorphismus“. Wie werden (bijektive)
”
Gruppenhomomorphismen G → G genannt? Welche Bezeichnung verwendet man f¨
ur injektive,
surjektive, bijektive Gruppenhomomorphismen G → H ?
(b) Sei g ∈ G ein beliebiges Element. Zeigen Sie, dass durch ιg : G → G, h → ghg −1 ein Endomorphismus von G definiert ist.
(c) Zeigen Sie, dass ιg sogar ein Automorphismus von G ist, indem Sie nachweisen, dass durch ιg−1
eine Umkehrabbildung gegeben ist.
(d) Die Menge Aut(G) der Automorphismen von G bildet eine Gruppe, mit der Komposition ◦ von
Abbildungen als Verkn¨
upfung. Zeigen Sie, dass durch φ : G → Aut(G), g → ιg ein Gruppenhomomorphismus definiert ist.
(e) Wie sieht die Abbildung ιg f¨
ur beliebiges g ∈ G aus, wenn G kommutativ ist?
¨
(f) Uberlegen
Sie, ob die Abbildung φ aus Aufgabenteil (d) immer injektiv ist.
Aufgabe 2
Wiederholen Sie die Definition des Begriffs Untergruppe“. Entscheiden Sie anschließend jeweils f¨
ur die
”
folgenden Gruppen G und die folgenden Teilmengen U ⊆ G, ob U eine Untergruppe von G ist.
(a) G = (Z, +), U = N0
(b) G = Sn , U = {σ ∈ G | σ(1) = 1}
(c) G = Sn , U = {σ ∈ G | σ(1) = 1}
Aufgabe 3
Sei G = (Q, +) die Gruppe der rationalen Zahlen mit der Addition als Verkn¨
upfung.
(a) Sei S ⊆ Q eine beliebige Teilmenge. Wie ist die von S erzeugte Untergruppe S von G definiert?
Wie sehen die Elemente von S aus, wenn die Menge S einelementig ist?
(b) Zeigen Sie: Enth¨
alt S mindestens ein Element ungleich Null, dann ist S eine unendliche Menge.
(c) Sei U eine Untergruppe von G mit
1 1
2, 3
∈ U . Weisen Sie nach, dass dann die Elemente
a ∈ Z alle in U enthalten sind.
(d) Schließen Sie aus Teil (d), dass
1 1
2, 3
=
1
6
gilt.
Dieses Blatt wird vom 20. bis zum 24. Oktober in den Tutorien bearbeitet.
1
6a
mit
Algebra (Lehramt Gymnasium)
— Blatt 1 —
(Global¨
ubungsblatt)
Aufgabe 1
Sei (G, ·) eine Gruppe. Bitte zeigen Sie:
(a) F¨
ur jedes g ∈ G ist σg : G → G, h → g · h ein Element von Per(G).
(b) Die Abbildung φ : G → Per(G), g → σg ist ein Gruppenhomomorphismus.
(c) Die Abbildung φ ist injektiv.
Aufgabe 2
Betrachten Sie die folgenden Gruppen G sowie deren Teilmengen U ⊆ G. Welche der Mengen U sind
Untergruppen von G?
(a) G = Sn mit n ≥ 1, S ⊆ Mn beliebig, U = US = {σ ∈ G | σ(S) ⊆ S}
(b) G = Sn mit n ≥ 3, U = {σ ∈ G | ∃k ∈ Mn : σ(k) = k}
(c) G beliebige Gruppe, U = {g ∈ G | ∀h ∈ G : gh = hg}
Aufgabe 3
(a) Gegeben sei die Gruppe (Q, +), die Untergruppe U =
n
30 |
n ∈ Z sowie die Menge S =
1 1 1
2, 3, 5
.
Zeigen Sie, dass gilt:
S = U.
(b) Betrachten Sie nun die Gruppe (Z2 , +), die Untergruppe U ⊂ Z2 und die Mengen S1 , S2 ⊂ Z2 mit
U = {(a, b) ∈ Z2 | a+b ist gerade}, S1 = {(2, 0), (0, 2), (1, 1)} und S2 = {(3, 1), (−3, −1)}. Beweisen
oder widerlegen Sie:
(i)
S1 = U
(ii)
Abgabetermin: Dienstag, 28. Oktober, bis 16:15 Uhr
¨
Bitte geben Sie die Nummer Ihrer Ubungsgruppe
an!
S2 = U.
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