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Q11 * Mathematik *
Verhalten gebrochen rationaler Funktionen an den Grenzen des Definitionsbereichs
Eine gebrochen rationale Funktion f hat die folgende Form:
z(x) a m  x m  a m1  x m1  ...  a1  x1  a o
f (x) 

n(x)
b n  x n  b n 1  x n 1  ...  b1  x1  b o
(mit a i , b i  Q und m, n  N)
Man nennt m den Grad des Zählers und n den Grad des Nenners.
1. Definitionslücken
Die Nullstellen des Nenners sind Definitionslücken von f .
Ist x1 eine Nullstelle des Nenners aber keine Nullstelle des Zählers, so nennt man x1 eine
Polstelle von f und der Graph von f hat bei x1 eine senkrechte Asymptote.
Ist x1 eine einfache, dreifache, … Nullstelle, so liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor,
ist x1 eine doppelte, vierfache, … Nullstelle, so liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.
Ist x1 eine Nullstelle des Nenners und des Zählers mit gleicher Vielfachheit, so heißt die
Definitionslücke stetig hebbar. (Im Graph ist dann ein Punkt herausgestanzt.)
2. Verhalten im Unendlichen ( x    )
Das Verhalten im Unendlichen hängt vom Grad des Zählers und des Nenners ab.
Gilt m < n , so folgt
Gilt m = n , so folgt
Gilt m > n , so folgt
lim f (x)  0
x  
lim f (x)  lim
x  
x  
a m  x m  a m1  x m1  ...  a1  x1  a o
a
 m
m
m 1
1
bm  x  bm1  x  ...  b1  x  bo b m
a m  x m  ...
lim f (x)  lim

x  
x    b  x n  ...
n
(Das Vorzeichen von lim f (x) hängt von m, n, am und bn ab.)
x  
Gilt m = n + 1 , so besitzt der Graph von f eine „schräg“ liegende Gerade als Asymptote.
Die Gleichung dieser Asymptote erhält man durch Polynomdivision.
Beispiel:
f (x) 
3x 3  2x  1
1, 25 x  1
 (3x 3  2x  1) : (2x 2  x)  1,5 x  0, 75 
2
2x  x
2x 2  x
 (2x 3  1,5 x 2 )
1,5x 2  2x  1
 ( 1,5x 2  0, 75x )
1, 25 x  1
1, 25 x  1
 0 lautet die Gleichung der Asymptote y 1,5x  0, 75 ,
x  
2x 2  x
der Graph von f schmiegt sich also dieser Geraden für x    beliebig nahe an.
Wegen lim
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