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Ferienkurs Analysis 1

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Skript
Ferienkurs Analysis 1
Fabian Hafner und Thomas Baldauf
TUM Wintersemester 2014/15
19.03.2015
Das Skript wurde teilweise u
¨bernommen vom Skript des Ferienkurses WS 2014, verfasst von Andreas W¨orfel. Fragen k¨onnen bis zum Abend vor der n¨achsten Vorlesung an fabian.hafner@tum.de
geschickt werden, damit sie intensiver in der Vorlesung behandelt werden k¨onnen.
Inhaltsverzeichnis
1 Taylorsche Formel und Taylorreie
1
2 Fourier-Reihen
2
3 Differentialgleichungen
3.1 Homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten . .
3.1.1 L¨osen des Anfangswertproblems . . . . . . . . . .
3.2 L¨osungsfundamentalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Inhomogene lineare DGLen mit konstanten Koeffizienten
5
7
7
8
8
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1 Taylorsche Formel und Taylorreie
f : I → R n-mal diff.bar in a ∈ I ⊂ R
Tn f (x; a) =
n
X
f (k) (a)
k!
k=0
(x − a)k
Heißt Taylorpolynom der Ordnung n von f um a.
Satz: Satz von Taylor
Sei f ∈ C n+1 (I), I ⊂ R Intervall, n ∈ N0 . Dann gilt f¨
ur
x, a ∈ I : f (x) = Tn f (x; a) + Rn+1 (x; a)
wobei
1
Rn+1 (x; a) :=
n!
x
Z
(x − t)n f (n+1) (t)dt
a
Insbesondere:
Rn+1 (x; a) = O (x − a)n+1 , (x → a)
Satz: Lagrange-Restglied
Unter den Voraussetzungen des Satzes von Taylor.
∃ξ ∈ [min(a, x), max(a, x)] : Rn+1 (x, a) =
f (n+1) (ξ)
(x − a)(n+1)
(n + 1)!
Definition: Taylor-Reihe
F¨
ur f ∈ C ∞ (I) und a ∈ I ⊂ R heißt
T f (x; a) :=
∞
X
f (k) (a)
k=0
Taylorreihe von f um a.
1
k!
(x − a)k
Satz: Eindeutigkeitssatz:
∞
P
Sei f (x) :=
an (x − a)n eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzradius R ∈ (0, ∞]. Dann
k=0
stimmt die Taylorreihe von f : (a − R, a + R) → R, x 7→ f (x) um a mit f u
¨berein:
T f (x; a) = f (x) ∀|x − a| < R
2 Fourier-Reihen
Definition: f : R → C heißt p-periodisch, wenn f¨
ur alle x ∈ R gilt:
f (x + p) = f (x)
Motivation: Approximation von periodischen Funktionen durch eine Linearkombination (Superposition) von trigonometrischen Polynomen ek , k ∈ Z mit
ek (x) := eikx = cos(kx) + i sin(kx)
Definition: : Fourier-Reihe
F¨
ur f ∈ R heißt
Z π
1
ˆ
f (k) := hek , f i =
e−ikx f (x)dx
2π −π
k-ter Fourierkoeffizient von f.
Die Funktionenfolge trigonometrischer Polynome
Sn (x) :=
n
X
fˆ(k)ek (x), n ∈ N0
k=−n
definiert im Grenzwert die Fourierreihe von f
Ff (x) :=
∞
X
fˆ(k)ek (x) := lim sn (x)
n→∞
k=−∞
2
Definition: : Sinus-Kosinus-Darstellung einer Fourierreihe, Fourierkoeffitienten
Ff l¨asst sich mit Sinus und Kosinus ausdr¨
ucken:
∞
a0 X
Ff (x) =
+
[ak cos(kx) + bk sin(kx)]
2
Z k=1
1 π
f (x) cos(kx)dx
ak :=
π −π
Z
1 π
f (x) sin(kx)dx, k ∈ Z
bk :=
π −π
Definition: F¨
ur D ⊂ R heißt f : D → C in Punkt x0 ∈ D diff.bar, falls Re f, Im f : D → R
in x0 diffbar sind. Es gilt
f 0 (x0 ) := (Re f )0 (x0 ) + i(Im f )0 (x0 )
Analog definiert man: halb- und linksseitige Ableitung, stetige Differenzierbarkeit,. . .
Satz: Sei f : R → C st¨
uckweise stetig diffbar, 2π − period.
Dann gilt f¨
ur alle x ∈ R:
n
X
1
fˆ(k)eikx =
f (x+ ) + f (x− )
n→∞
2
k=−n
Ff (x) = lim
mit f (x± ) := lim± f (ξ)
ξ→x
N¨
utzliche Darstellung der Fourierpolynome sn (x) =
n
P
fˆ(x)eikx mittels Dirichlet-Kern:
k=−n
Dn : R → R, Dn (t) :=
n
X
eikt
k=−n
3


2n + 1, n ∈ Z
= sin t (2n + 1)
2


sin 2t
1
sn (x) =
2π
Z
π
f (x − t)Dn (t)dt, x ∈ R
−π
Lemma: Riemann-Lebesque
F¨
ur f ∈ R gilt:
lim fˆ(k) = lim fˆ(k) = 0
k→∞
k→−∞
Definition: Eine Funktionenfolge fn ∈ R, n ∈ N konvergiert im quadratischen Mittel gegen
f ∈ R,falls
lim kfn − f k2 = 0
n→∞
Satz: nat¨
urlicher Konvergenzbegriff f¨
ur Fourier-Reihen:
F¨
ur f ∈ R
• lim kf −
n→∞
• kf k22 =
n
P
fˆ(k)ek k2 = 0
k=−n
∞
P
|fˆ(k)|2 (Parsevalsche Identit¨at)
k=−∞
Satz: Zusammenhang Gleichheit von f ⇔ Abfall der Fourierkoeffizienten
Sei f : R → C n-mal stetig diffbar, 2π-periodisch
• f ˆ(n) (k) = (ik)n fˆ(k) ∀k ∈ Z
Z π
1
1
• |fˆ(k)| ≤ n
|f (n) (x)|dx ∀k ∈ Z{0}
|k| 2π −π
Definition: F¨
ur f : R → C mit f absolut integrierbar u
¨ber R heißt fˆ : R → C
fˆ(k) :=
Z
∞
dx
f (x)eikx √
Fouriertransformierte von f.
2π
−∞
Satz: Seien f : R → C absolut integrierbar und stetig. Dann: f (x) =
4
R∞
−∞
fˆ(k)eikx √dk2π
3 Differentialgleichungen

x1

 x1
Stetige Abbildungen x : I → Rm (Cm ), t 7→ 
 ...

xn
m
punktiges Intervall I ist, heißen Kurven im R (Cm )



 deren Definitionsbereich ein mehr

• t ∈ I heißt Parameter von x. Das Bild x(I) ⊂ Rm (Cm ) nennt man Spur von x
• x heißt n-mal (stetig) differenzierbar, falls alle Komponentenabbildungen x1 , . . . , xm
n-mal (stetig) diff.bar sind. Die nte Abbildung von x ist

x
(n)
m
m
: I → R (C ), t 7→ x
(n)


(t) := 


(n)
x1 (t)
(n)
x2 (t)
...
(n)
xn (t)






x˙ = x(1) heißt auch Geschwindigkeit.
Kurven sind L¨osungen von DGLen (Bsp. Bahnkurve i.d. Physik)!
Definition: Eine gew¨ohnliche DGL nter Ordnung ist eine Gleichung der Form
(3.0.1)
x(n) (t) = F (x(n−1) (t), . . . , x(1) (t), x(t), t) ∀t ∈ I
wobei eine Funktion x : I → Cm , t 7→ x(t) auf einem offenen Intervall gesucht wird. Ist x
vektorwertig, d.h. m ≥ 2, spricht man von einem System von DGLen. Eine nmal diff.bare
Funktion x : I → Cm auf einem offenen Intervall heißt L¨osung, falls 3.0.1 gilt.
Definition:
EinSystem von DGLen erster Ordnung f¨
ur eine Funktion x : I → Cm , t 7→

x1 (t)


x(t) =  . . .  ∀t ∈ I heißt linear, falls es von der Form
x2 (t)
(3.0.2)
x˙ = A(t)x(t) + b(t) ∀t ∈ I
5
ist, wobei t 7→ A(t) ∈ M at(m; C) eine komplexwertige m × n Matrix und t 7→ b(t) ∈ Cm .
Falls b(t) = 0∀t ∈ I heißt 3.0.2 homogen, sonst inhomogen.
Definition: Eine DGL nter Ordnung f¨
ur x : I → C, t 7→ x(t) heißt linear, falls sie von der
Form
x(n) (t) + an−1 (t)x(n−1) (t) + · · · + a1 (t)x(1) (t) + a0 x(t) = b(t)
mit t 7→ aj (t) ∈ C, j = 0, 1, . . . , n − 1 und t 7→ b(t) ∈ C ist.
Die DGL
x(n) (t) + an−1 (t)x(n−1) (t) + · · · + a1 (t)x(1) (t) + a0 x(t) = bn (t)
(3.0.3)
mit aj ∈ C 1 (R), j = 0, . . . , n − 1, b ∈ C 1 (R) ist zu dem System
(3.0.4)
x(t)
˙
= A(t)x(t) + b(t)
mit

0
0
..
.
1
0
...
1
...
...
..
.
...
...




A(t) = 

 0
...
1

a0 (t)
. . . −an−2 (t) −an−1 (t)

0

0


,

0




b(t) = 


¨aquivalent:


x
 (1) 
 x 

• Ist x L¨osung von (3.0.2), dann ist 
 . . .  L¨osung von (3.0.4).


(n−1)
x
 
x1
 
• Ist x = . . . L¨osung von (3.0.4), dann ist x1 L¨osung von (3.0.2).
xn
6
0
...
0
bn (t)






3.1 Homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten
x(t)
˙
= Ax(t)
mit A ∈ M at(m; C) zeitabh¨angig. F¨
ur m = 1: allgemeine L¨osung von x˙ = Ax, A ∈ C lautet
x(t) = eAt x(0).
Naheliegend: L¨osung mittels Matrixexponentialfunktion:
exp(A) :=
∞
X
An
n=0

n!

0
 .

.. 
mit A0 := 11 = 


0
1
1
3.1.1 L¨
osen des Anfangswertproblems
Satz: : t 7→ x(t) := etA x0 ist eindeutigt L¨osung des AWPs
x˙ = Ax, x(0) = x0
Zur Berechnung des Matrixexponentials:
• A ∈ M at(m; C) selbstadjungiert, d.h. A = A∗ :
A = U diag(λ1 , . . . , λm )U ∗
mit λi ∈ R Eigenwerte von A sind und U = (v, . . . , vm ) eine unit¨are Matrix (U ∗ = U −1 )
mit Orthonomalbasis von Eigenvektoren als Spaltenvektoren.
• A ∈ M at(m; C) antiselbstadjungiert, A∗ = −A:
exp(tA) = U diag eitλ , . . . , eitλm U ∗
7
3.2 L¨
osungsfundamentalsystem
Beobachtung: Die L¨osungen von x˙ = Ax bilden einen (komplexen Vektorraum) L (L¨osungsraum).
Beweis: y1 , . . . , yk L¨osungen von x˙ = Ax ⇒
P
jede Linearkombination kj=1 αj yj , αj ∈ C ist Lo
¨sung!
Definition: Jede Basis von L heißt L¨osungsfundamentalsystem.
Satz: dim L ≤ m, A ∈ M at(m; C)
3.3 Inhomogene lineare DGLen mit konstanten Koeffizienten
Eine inhomogene lineare DGL mit konst. Koeff. hat die Form
x(t)
˙
= Ax(t) + b(t)
mit A ∈ M at(m; C) zeiunab¨angig und t 7→ b(t) ∈ Cm stetig.
Die Variation der Konstanten ist eine L¨osungsmethode, um x(t) zu finden. Es gibt eine
(explizite) allgemeine L¨osung, in der alle Schritte dieser L¨osungmethode schon eingewebt
sind:
Satz: L¨osung mit Variation der Konstanten
Z
tA
t 7→ x(t) := e x0 +
t
e(t−s)A b(s)ds
0
ist die eindeutige L¨osung des AWPs
x(n) + an−1 x(n−1) + · · · + a0 x = 0
mit x(0) = x0 ∈ Cm .
Satz: Allgemeine L¨osung:
Die allgemeine L¨osung einer inhomogenen linearen DGL hat die Form
xallg. (x) = xhomogen (t) + xpartikul¨ar (t)
8
M¨ogliche L¨osungsmethoden:
• Trennung der Variablen
• Variation der Konstanten
• Ansatz vom Typ der rechten Seite
Auszug aus Karpfinger: H¨ohere Mathematik in Rezepten”:
”
9
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