close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Lösung 1

EinbettenHerunterladen
Übungen zur Physik II PHY 121 und PHY 126, FS 2015
Abgabe: Dienstag, 03. März 1200
Serie 1
English terms:
Innere Energie = internal energy
Dichte = density
Siedepunkt = boiling point
Freie Weglänge = mean free path
Zustandsgleichung = equation of state
Prozessgrösse = process quantity
Zähigkeit = viscosity
Thermische Ausdehnung = thermal expansion
Wäermeleitfähigkeit = heat conductivity
Hauptsatz = law of thermodynamics
Zustandsgrösse = state quantity
Allgemeine Fragen
1. Was ist die Temperatur und wie wird sie definiert?
Antwort:
Temperatur ist eine intensive Zustandsgrösse eines Systems. Sie ist ein Mass für den mittleren Geschwindigkeitsbetrag seiner Teilchen. Demnach gibt es auch einen Absoluten Nullpunkt (-273.15 ◦ C = 0 K).
Für ein ideales Gas mit f Freiheitsgraden gilt:
E kin =
f
kB T
2
(für ein-atomiges ideales Gas: f = 3).
Beachte Unterschied Temperatur <–> Wärme(energie):
Temperatur beschreibt den Zustand eines Systems, während Wärme Änderungen von Systemzuständen
charakterisiert und somit eine Prozessgrösse ist.
2. Was beschreibt der Nullte Hauptsatz der Thermodynamik?
Antwort:
Zwei Körper sind genau dann (und nur dann) im thermischen Gleichgewicht, falls ihre Temperatur übereinstimmt. Dann fliesst keine Wärme zwischen den Körpern.
3. Was ist ein ideales Gas und wie lautet die ideale Gasgleichung?
Antwort:
Ideale Gasgleichung und Umformungen:
pV = N kB T = nRT
mit nR = N kB , R = NA · kB , N = n · NA , m = n · M , V = n · VM
p: Druck [Pa] — V : Volumen [m3 ] — N : Teilchenzahl [1] — T : Absolute Temperatur [K] — n: Stoffmenge [mol] — m: Masse [kg] — M : Molare Masse [kg/mol] — VM : Molares Volumen des idealen Gases
(22.4 l/mol) — kB : Boltzmann-Konstante (1.38·10−23 J/K) — R: Universelle Gaskonstante (8.31 J/mol/K)
— NA : Avogadro-Konstante (6.022·1023 1/mol)
Grundlegende Annahmen:
Ein Modelgas besteht aus Atomen oder Molekülen, die sich wie kleine starre Kugeln mit Radius r0 verhalten. Bei Stössen untereinander und an der Wand gelten Impuls- und Energiesatz, die Stösse sind
vollkommen elastisch. Abgesehen von Stössen, treten keine Kräfte zwischen den Kugeln auf.
1
Falls in diesem Modellgas die mittleren Abstände zwischen den Atomen hri r0 , so kann man das
Volumen der Atome gegenüber dem Gesamtvolumen des Gefässes vernachlässigen. In diesem Fall nennt
man das Modelgas ein ideales Gas.
4. Was beschreiben die Begriffe Isotherme, Isochore und Isobare?
Antwort:
Abbildung 1:
- Isotherme:
Gesetz von Boyle-Mariotte: T = konst = p · V ⇒ p ∝
2
1
V
(Hyperbel)
dQ = p · dV
Beschreibt eine Änderung des Volumens und des Druckes, wenn die Temperatur konstant bleibt
z.B.: aufsteigende Gasblasen eines Tauchers
- Isochore:
Gesetz von Gay-Lussac: V = konst = Tp ⇒ p ∝ T (erscheint in a) als vertikale Gerade)
dQ = dU = Cv · dT
Eine Änderung des Drucks und der Temperatur, während das Volumen konstant bleibt
zB: Erwärmung eines geschlossenen Gefässes: Dampfkochtopf; Abkühlung: dichter Kühlschrank
- Isobare
Gesetz von Amontons:p = konst = VT ⇒ V ∝ T (erscheint in a) als horizontale Gerade)
dQ = dU + p · dV = Cp · dT
Beschreibt eine Änderung des Volumens und der Temperatur, bei der der Druck konstant bleibt
z.B.: Gasballon, auf den die Mittagssonne scheint.
5. Was ist die Brown’sche Bewegung, was beschreibt die Maxwell-Boltzmann-Verteilung, was ist die freie
Weglänge und was die mittlere Flugzeit?
Antwort:
Brownsche Bewegung:
Temperaturabhängige, zufällige Zitterbewegung der Moleküle (random walk) hervorgerufen durch Stösse
untereinander.
MB-Verteilung:
Sie beschreibt die statistische Verteilung des Betrags v = |~v | der Teilchengeschwindigkeiten in einem
idealen Gas. Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Intervall [v, v+dv] zu finden ist gegeben durch:
p(v)dv = 4π
m
2πkB T
3/2
v2 e
2
mv
− 2k
T
B
dv,
(0.1)
bzw. für die Wahrscheinlichkeit P ein Teilchen im Intervall [v1 , v2 ] zu finden:
Z
v2
P =
4π
v1
m
2πkB T
3/2
v2 e
2
mv
− 2k
T
B
dv
(0.2)
R∞
Da es sich um eine Wahrscheinlichkeitsdichte handelt gilt 0 p(v)dv = 1 für alle Temperaturen. Das heisst
die Fläche unter der Kurve ist immer 1! Für grössere Temperaturen wird die Verteilung breiter, somit
niedriger und das Maximum liegt bei einem höheren Wert von v (siehe Abb. 5.).
3
Abbildung 2: Maxwell-Boltzmann-Verteilung für Stickstoff bei 100, 300 und 800 K [Grafik von
http://de.wikipedia.org/]
Beachte das für die Geschwindigkeit ampMaximum der Verteilung vmax , die mittlere Geschwindigkeit v¯
und die RMS Geschwindigkeit vRM S = v 2 gilt:
vmax < v¯ < vRM S
Boltzmann-Faktor:
E
W (E) = exp −
kB T
(0.3)
Wahrscheinlichkeitsdichte W , das ein Teilen eines Systems mit Temperatur T die Energie E hat.
Mittlere freie Weglänge:
Die mittlere freie Weglänge ist die Länge die ein Teilchen in einem Material zurücklegen kann ohne
Stoss mit anderen Teilchen. Somit hängt die Länge von der Teilchendichte n = N/V und dem totalen
Wirkungsquerschnitt σ ab. Speziell in einem Gas erlauben Gleichgewichtsbetrachtungen der Moleküle
unter Annahme einer Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung die Abschätzung
λ= √
1
2
2N
V πd
wobei d dem Durchmesser des Gasmoleküls entspricht.
Mittlere freie Flugzeit:
Die mittlere freie Flugzeit für ein Molekül in einem Gas berechnet sich aus der mittleren freien Weglänge
und der mittleren Geschwindigkeit der Moleküle (Maxwellsch-Bolzmann Geschwindigkeitsverteilung):
τ=√
λ
.
2 hvi
6. Was ist Wärme und was ist innere Energie?
Antwort:
Innere Energie U (extensive Zustandsgrösse):
Gesamte Energie aller N Moleküle in einem System. (Translationsenergie; evtl. Rotationsenergie und Vibrationsenergie; potentielle Energie)
4
Im idealen Gas mit f Freiheitsgraden:
U=
f
f
N · kB · T = n · R · T
2
2
(0.4)
Wärme Q (Prozessgrösse):
In einen Körper hineingesteckte / herausfliessende Energie ∆E, die zu einer Temperaturerhöhung / erniedrigung ∆T führt, nennt man Wärmeenergie ∆Q und ändert die Wärmemenge Q des Körpers.
7. Was beschreibt der erste Hauptsatz der Thermodynamik?
Antwort:
Die Summe der einem System von aussen zugeführten Wärme und der zugeführten Arbeit ist gleich der
Zunahme seiner inneren Energie. (Energieerhaltungssatz)
dU = dQ + dW
Konvention:
Zugeführte Energie: positives Vorzeichen.
Im Falle eines idealen Gases gilt dW = −p · dV und somit:
dU = dQ − p · dV
8. Wie muss die ideale Gasgleichung modifiziert werden, damit sie reale Gase beschreiben kann?
Antwort:
- Berücksichtige intermolekulare Kräfte (Van der Waals Kräfte).
- Berücksichtige Eigenvolumen der Moleküle.
Dieses Modellgas aus starren Kugeln mit anziehender Dipol-Wechselwirkung führt zu der Van-der-WaalsGleichung (V → V − b und p → p + Va2 ) mit dem Kohäsionsdruck a (Grösse für die zwischenmolekularen
Anziehungskräfte) und dem Kovolumen b (berücksichtigt das Wechselwirkungsvolumen der Molekülkräfte):
n 2 p+a
(V − n · b) = n · R · T
V
5
Abbildung 3: Zustandsdiagramme für reales Gas verschiedener Temperaturen. K: Kritischer Punkt; Linie FBG:
Koexistenzbereich. (Q: Wiki)
Aufgaben
1 Dichte von Xenon [1P]
Wie gross ist die Dichte von Xenon bei 20 ◦C und bei einem Druck von 8000 kPa. Verwenden Sie die Van-derWaals-Konstanten
cm3
cm6 kPa
,
b
=
51
a = 4.2 · 108
mol
mol2
Wie gross wäre die Dichte, wenn sich Xenon auch unter diesen Verhältnissen wie ein ideales Gas verhielte?
Vergleiche den Wert mit dem Literaturwert.
Lösung
Die Van-der-Waals-Gleichung für ein Mol lautet:
(p +
mit VM =
V
n
a
2 )(VM − b) = RT
VM
dem molaren Volumen. Wir wollen die Dichte
ρ=
m
V
berechnen. Dafür berechnen wir, wieviel Volumen ein Mol Xenon einnimmt, also:
6
(1.1)
an2
)(V − nb) = RT n
V2
an2
an3 b
pV − pnb +
= RT n
−
V
V2
pV 3 − (pnb + RT n)V 2 + an2 V − an3 b = 0
(p +
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Diese Formel lässt sich nicht so einfach lösen. Wir benutzen entweder ein numerisches Verfahren (z.B. Newton Integration) oder den Taschenrechner um die Gleichung aufzulösen und Vm zu bestimmmen: VM = 9.8 ·
10−5 m3 /mol.
Damit folgt (M = 131 g/mol):
ρ=
m/n
M
kg
m
=
=
= 1330 3
V
V /n
VM
m
.
Für das ideale Gas gilt:
RT
p
m
M
Mp
ρ=
=
=
V
VM
RT
VM =
= 430
(1.5)
(1.6)
kg
m3
In Wolfram Alpha Tabelle findet man folgenden Wert: ρXe = 1731
nicht als ideales Gas angenommen werden.
(1.7)
kg
m3 .
Das Gas darf also für diese Berechnung
2 1. Hauptsatz [3P]
Ein Gas-System geht vom Zustand a in den Zustand d über,
und zwar auf drei verschiedenen Wegen, wie in der nebenstehenden Abbildung gezeigt.
1.5pi
Die Wärme, die beim Prozess 1 dem Gas zugeführt wird ist
10pi Vi . Berechnen Sie für die Prozesse 2 und 3 die Änderung
der inneren Energie, die geleistete Arbeit und daraus die dazu notwendigerweise zuzuführende Wärme (in Einheiten von
pi Vi ).
pi
b
2
2
0.5pi
a
1
3
3
d
c
Vi
5Vi
Lösung
Es gilt allgemein:
dU = δQ + δW
Z V2
δW1→2 = −
p(V )dV
V1
7
(2.1)
(2.2)
und für ein ein-atomiges, ideales Gas:
3
nR∆T
2
dU =
pV = nRT → T =
(2.3)
pV
nR
(2.4)
Prozess 1:a → d
Z
Vb
δWa→d, direkt = −
p(V )dV = −4pi Vi
(2.5)
Va
Prozess 2: a → b
1.5 · 5pi Vi
1pi Vi
39
−
=
pi Vi
nR
nR
4
0.5pi
δW = −(5 − 1)Vi · pi +
= −5pi Vi
2
3
3
dU = nR∆T = nR
2
2
(2.6)
(2.7)
Der Ausdruck für δW beschreibt die Fläche des oberen Dreiecks und des darunter liegenden Rechtecks mit der
Höhe pi .
Prozess 2: b → d
dU =
3
3
nR∆T = nR
2
2
5pi Vi
1.5 · 5pi Vi
−
nR
nR
=−
15
pi Vi
4
δW = 0 pi Vi
(2.8)
(2.9)
Damit folgt für die totale zugeführte Wärme:
δQzu = dU − δW =
59
39
− (−5) pi Vi =
pi Vi
4
4
(2.10)
Mit derselben Strategie ergibt sich für Prozess 3:
Prozess 3: a → c:
3
dU = − pi Vi
4
δW = 0 pi Vi
(2.11)
(2.12)
Prozess 3: c → d:
27
pi Vi
4
δW = −3pi Vi
dU =
und somit für Qzu =
39
4 pi Vi .
8
(2.13)
(2.14)
3 Gas-Statistik [3P]
Ein Zylinder mit einem Volumen von 500 l enthält Sauerstoff der Temperatur 20 ◦ C. Der Druck beträgt 1500 kPa.
(a) [0.5P] Berechnen Sie die Dichte des Gases.
(b) [1P] Wie gross ist die Wurzel der mittleren quadratischen Geschwindigkeit der Moleküle?
(c) [0.5P] Wie gross ist die mittlere freie Weglänge der Sauerstoff-Moleküle?
(d) [1P] Wieviele Stösse zwischen den Molekülen finden im Mittel pro Sekunde statt?
Lösung
Nehme Sauerstoff als ideales Gas an. MO2 = 2 · 16 g/mol.
(a) Dichte
pV = nRT
m
m V
M
ρ=
= / =
V
n n
V /n
Mp
⇒ρ=
RT
kg
= 20.0 3
m
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(b) Mittlere quadratische Geschwindigkeit
Beachte den Unterschied zwischen der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit
der Kurve, vmax ),
(Maximum
mittleren Geschwindigkeit (hvi), mittleren quadratische Geschwindigkeit ( v 2 ) und deren Wurzel (vRMS ).
s
vmax =
s
hvi =
2kB T
mO2
(3.5)
8kB T
πmO2
(3.6)
2 3kB T
v =
mO
s 2
3kB T
vRMS =
mO2
(3.7)
(3.8)
(3.9)
O2 hat zwar 5 Freiheitsgrade und damit eine innere Energie von U =
Freiheitsgrade der Translation, d.h. nur diese 3 tragen zur vRMS bei:
r
5
2 nRT ,
davon sind aber nur 3
f RT
m
≈ 478 .
(3.10)
M
s
Beachte, dass O2 theoretisch auch oszillieren könnte, was zwei Freiheitsgrade mehr bedeuten würde. Aus
quantenmechanischen Betrachtungen (siehe z.B. Physik für Hochschulanfänger) findet man jedoch, dass
die thermische Energie nicht ausreicht um diese Schwingungen anzuregen. Ähnlich lässt sich der fehlende
Freiheitsgrad um die Verbindungsachse des Moleküls erklären.
p
hv 2 i =
9
(c) Mittlere freie Weglänge λ
λ= √
1
2
2N
V πd
mit Abstandsparameter1 d = 0.29 nm für O2 . Mit Hilfe der idealen Gasgleichung (pV = N kB T ) eingesetzt
folgt:
kB T
λ= √
≈ 7.22 nm
2πd2 p
(3.11)
(d) Anzahl Stösse pro Sekunde
Die mittlere freie Flugzeit für ein Molekül ergibt sich dann aus hvi und λ:
τ=√
λ
2 hvi
(3.12)
Für die Anzahl Stösse aller Moleküle pro Sekunde ergibt sich dann:
Z=
1 NA n
1 NA pV
1 N
·
= ·
= ·
τ 2
τ
2
τ 2RT
≈ 8.0 · 1036 s−1
(3.13)
(3.14)
(beachte den Faktor 1/2: Zähle Stoss von A mit B und B mit A nicht doppelt).
4 Kühlschrank [2P]
Ein luftdicht verschlossener Kühlschrank enthält Luft von 17 ◦ C und 1·105 Pa Druck. Die Luft wird nun auf
-3 ◦ C abgekühlt.
(a) [1P] Welche Druckdifferenz wird sich zwischen Innen- und Aussenraum einstellen?
(b) [1P] Die Tür des Kühlschrankes sei h = 1 m hoch und b = 50 cm breit. Der Türgriff befinde sich d =
5 cm vom Rand entfernt. Mit welcher Kraft muss man ziehen, um den Kühlschrank zu öffenen?
Lösung
(a) Die Luft wird als ideales Gas angenommen. Die Teilchenzahldichte N
V ist im Kühlschrank gleich gross wie
ausserhalb. Aus der Gleichung für ideale Gase pV = N kB T folgt damit (nach dem Abkühlen):
pI
pA
pI
∆p
1 Halliday
N kB TI
V
N kB TA
=
V
TI
= pA
TA
= pA − pI = 6900 Pa.
=
(p = 1.01 bar, T = 300 K)
10
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(b) Dieser Druck erzeugt ein Drehmoment M auf die Tür:
Z b
xdF
M =
(4.5)
0
Z
=
h∆p
b
xdx
(4.6)
0
2
b
h∆p
2
TI b2
hpA 1 −
≈ 861.5 Nm
TA 2
=
=
(4.7)
(4.8)
mit dF = p · dA und dA = h · dx. Die Kraft um die Tür zu öffnen beträgt dann
F = M/(b − d) ≈ 1914 N
(4.9)
5 Mechanisches Wärmeäquivalent [2P]
Wir wollen in einer etwas altmodischen Variante
das mechanische Wärmeequivalent bestimmen. Als
Einheit der Wärmemenge wurde 1 cal als diejenige
Wärmemenge definiert, die 1 g Wasser von 14.5 0 C
auf 15.5 0 C bei konstantem Druck erwärmt. Die
Äquivalenz von Wärme und Energie wird mit dem
Versuch von R. Mayer bestimmt. Im Hörsaalversuch waren:
R(Kupferbehälter) = 21 ·46.5 mm, MasseCu = 103 g,
Wärmekapazität = 9.5 cal/K, Wasserfüllung =
50 cm3 , gemessene Temperaturänderung =23.2 ◦ C
→ 29 ◦ C bei n = 200 Umdrehungen, m = 5 kg.
Man bestimme mit diesen Daten das mechanische
Wärmeäquivalent.
6
R T
m
Lösung
Durch die Reibungskraft wird folgende Energie in das System geführt:
∆W = F · s = mg · dπ · n
(5.1)
Die Wärmeenergie, die Wasser (mit spez. Wärmekapazität cH2O in [cal/K/kg]) und Kupferbehälter (mit Wärmekapazität CCu in [cal/K]) aufgenommen haben ergibt sich aus dem Temperaturanstieg:
∆Q = (cH2O · mH20 + CCu ) · ∆T
(5.2)
Somit ergibt sich für das mechanische Wärmeäquivalent WAeq,mech :
∆W
mg · dπ · n
=
∆Q
(cH2O · mH20 + CCu ) · ∆T
≈ 4.153 J/cal
WAeq,mech =
Literaturwert: WAeq,mech = 4.186 J/cal.
11
(5.3)
(5.4)
6 Thermodynamisches Gleichgewicht [1P]
Betrachten Sie das skizzierte System und überlegen Sie, welches jeweils der thermodynamische Gleichgewichtszustand sein wird? Gezeichnet ist der Anfangszustand des Systems, das sich dann selbst überlassen bleibt. In
den Volumina V1 und V2 befinden sich zwei verschiedene ideale Gase, am Anfang sind die Werte von p, V und
T für die beiden Gase alle unterschiedlich. Am Ende des Prozesses bezeichnen wir die Grössen mit p0 , V 0 und
T 0.
Durch die Zwischenwand sind die beiden Teilsysteme in
Wärmekontakt, aber das ganze System ist nach aussen isoliert. Es werden vier verschiedene Fälle unterschieden. Welche Grössen werden im Gleichgewicht gleich, welche bleiben
verschieden? (Nicht rechnen, nur überlegen!)
p1 , T1 , V1
p2 , T2 , V2
Bezeichnen Sie in der folgenden Tabelle die Grössen, die im Gleichgewichtszustand auf beiden Seiten der Wand
denselben Wert annehmen.
Endzustand
(i)
Die Zwischenwand bleibt fest
(ii)
Die Zwischenwand ist beweglich
(iii)
Die Zwischenwand ist fest, aber für
alleTeilchensorten durchlässig
Die Zwischenwand ist fest, aber für
die Teilchensorte links undurchlässig
und für die Teilchensorte rechts durchlässig.
(iv)
T10 = T20 ?
p01 = p02 ?
V10 = V20 ?
T10 = T20 ?
X
p01 = p02 ?
V10 = V20 ?
Lösung
Endzustand
(i)
Die Zwischenwand bleibt fest
(ii)
Die Zwischenwand ist beweglich
X
X
(iii)
Die Zwischenwand ist fest, aber für
alleTeilchensorten durchlässig
Die Zwischenwand ist fest, aber für
die Teilchensorte links undurchlässig
und für die Teilchensorte rechts durchlässig.
X
X
X
X∗
(iv)
∗
: Falls der Druck links höher ist als rechts, können die Teilchen rechts nicht nach links wandern und es herrscht
gleicher Druck auf beiden Seiten.
17. März 2015
12
Autor
Document
Kategorie
Uncategorized
Seitenansichten
9
Dateigröße
654 KB
Tags
1/--Seiten
melden