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Prof. Dr. Felix Leinen
31. Oktober 2014
¨
UBlatt
1
Geometrie, Algebra und Zahlentheorie“ im WS 14/15
”
¨
Abgabe der Hausaufgaben bis Freitag, 07. November 2014, 13 Uhr im Ubungskasten
neben der
Mathe-Fachschaft.
1. Die Fibonacci-Zahlen sind bekanntlich gegeben durch
F0 = 0,
F1 = 1
und Fn = Fn−1 + Fn−2
f¨
ur alle n ≥ 2 .
(a) Zeigen Sie, daß Fn genau dann ein Vielfaches der Zahl 3 ist, wenn n ein Vielfaches von 4
ist.
(b) Beweisen Sie die explizite Formel

√
√
5 1+ 5
Fn =
5
2
√
n
−
1− 5
2
n
[4 P]


f¨
ur alle n ∈ N.
[4 P]
(c) Folgern Sie, daß das Verh¨
altnis Fn+1 : Fn f¨
ur wachsende n gegen das nicht-ganzzahlige
Steckenverh¨
altnis konvergiert, welches Hippasos am Pentagramm entdeckte.
2. Eine Intervallschachtelung rationaler Zahlen sei eine Abbildung N
derart, daß gilt:
[2 P]
n −→ (sn , tn ) ∈ Q × Q
(I.1)
sn < sn+1 < tn+1 < tn f¨
ur alle n ∈ N, und
(I.2)
zu jeder noch so kleinen rationalen Zahl d > 0 ist tn − sn < d f¨
ur fast alle n ∈ N.
Zeigen Sie:
(a) Zu jeder solchen Intervallschachtelung n −→ (sn , tn ) gibt es genau einen DedekindSchnitt β mit sn ∈ Q \ β und tn ∈ β f¨
ur alle n ∈ N .
(b) R ist u
ahlbar.
¨berabz¨
Tip. Ordnen Sie jeder Abbildung f : N −→ {0, 1} eine Intervallschachtelung If rationaler Zahlen zu derart, daß f¨
ur alle f, g ∈ Abb(N, {0, 1}) gilt:
Ist f (n) = g(n) , so sind die n -ten Intervalle in If und Ig disjunkt.
√
3. Approximieren Sie 5 mittels Intervallschachtelung ausgehend von dem Startintervall
unter Verwendung des
(a)
Bisektionsverfahrens,
(b)
[8 P]
[6 P]
1, 5
Heron-Verfahrens.
Wieviele Schritte ben¨
otigen jeweils Sie f¨
ur eine Eingrenzung, die auf 1/100000 genau ist ?
√
Hinweis. Wie die alten Griechen kennen Sie die Dezimalentwicklung von 5 hierbei nicht!
[6 P]
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