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Flächeninhalt zwischen zwei Graphen

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Basiswissen > Analysis > Integralrechnung > Flächeninhalt zwischen zwei
Graphen
Flächeninhalt zwischen zwei Graphen
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Erklärung
Den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen zweier Funktionen
f
wie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der
Integrals berechnen:
A =
|
|
|
|∫
| a
b
(f (x)
−
und
x
g
kannst du ähnlich
-Achse mit Hilfe eines
|
|
g(x)) dx|
|
|
Wenn du den Betrag verwendest, ist es egal, welche Funktion du von welcher abziehst. Ohne
den Betrag musst du darauf achten, dass die Funktion von der abgezogen wird,diejenige ist,
deren Graph oberhalb des anderen Graphen liegt. Sonst würdest du einen negativen
Flächeninhalt erhalten.
Hinweise
Die Grenzen a und b ergeben sich, wenn in der Aufgabenstellung nicht anders vorgegeben,
aus den Schnittstellen der beiden Funktionen. Du musst diese also meist zuerst berechnen.
Gibt es mehr als nur zwei Schnittstellen x0 , x1 ,..xn , so musst du mehrere Integrale
|
A = |
|∫
| x0
|
g(x)) dx|
|
|
berechnen:
xn
|
+ |
|∫
| xn
(f (x)
−
1
x1
−
(f (x)
−
|
+ |
|∫
| x1
|
g(x)) dx|
|
|
x2
(f (x)
−
|
g(x)) dx| +. . .
|
|
Sind die beiden Grenzen in der Aufgabenstellung vorgegeben, so musst du überprüfen, ob
zwischen diesen Schnittstellen liegen, und dann gegebenenfalls wie oben mehrere Integrale
berechnen.
Beispiel
−
Die Fläche, die vollständig von den beiden Graphen der Funktionen f (x) = x 3 + x 2
2x und
g(x) = x eingeschlossen wird, lässt sich wie folgt berechnen:
Die Schnittstellen ergeben sich zu x0
2, 3 , x 1 = 0 und x 2
1, 3 . Damit berechnet sich der
Flächeninhalt über die Summe zweier Integrale:
≈−
≈
0
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|
A
|
|
|
3
(
+
2
− −
2x
x
|
|
dx| +
)
|
|
|
|
|
1,3
3
(
+
2
≈
− −
2x
x
|
|
dx|
)
|
1 von 2
A
≈
≈
|
|
|
|∫
|
0
−
2,3
(
x
3
+ x
2
− −
2x
|
|
x dx| +
)
|
|
|
|
|
|∫
| 0
1,3
(
x
3
+ x
2
− −
2x
x
|
|
dx|
)
|
|
4, 994 + 1, 089 = 6, 083
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