close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Be pdf free - PDF eBooks Free | Page 1

EinbettenHerunterladen
Chapter 4
Integralrechnung
In Analysis I haben wir die Operation von Differenzieren (Ableiten) gelernt. Sei 
ein Intervall. Für eine Funktion  :  → R definiert man die Ableitung  0 () an
eine Stelle  ∈  mit
 ( + ) −  ()
 0 () = lim

→0

vorausgesetzt, dass der Limes existiert. Wir haben auch gelernt, wie man die
Ableitung berechnet (die Rechenregeln) und wie die Ableitung für die Untersuchung
der Funktion benutzt werden kann.
Jetzt betrachten wir das inverse Problem: gegeben sei eine Funktion  , wie man
eine Funktion  mit  0 =  bestimmen kann? Das heißt:
wie eine Funktion  durch ihre Ableitung wiederherstellt werden kann?
Diese Frage entsteht in vielen Anwendungen von Mathematik. Zum Beispiel, die
Bestimmung der Position  () von einem bewegenden Körper durch die gegebene
Geschwindigkeit  () = 0 () führt zu diesem Problem. Noch allgemeineres Problem
bekommt man aus dem Aktionsprinzip (Zweites Newtonsches Gesetz)
 = 
wobei  die Masse des Körpers ist,  =  () die Beschleunigung an der Zeit  und
 die bewegende Kraft. Da  () = 00 (), so erhalten wir die Gleichung
00 () =



Ist  als eine Funktion von Zeit  bekannt, so bestimmt man erst 0 und danach
. Ist  eine Funktion von  und 0 wie häufig der Fall ist, so erhält man eine
Differentialgleichung — eine Beziehung zwischen 00  0   die  wiederherstellen lässt.
4.1
Unbestimmtes Integral
Definition. Gilt  0 =  auf einem Intervall , so heißt die Funktion  eine Stammfunktion von  auf .
1
2
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Nicht alle Funktionen haben Ableitung. Auch nicht alle Funktion haben Stammfunktion. Später in der Vorlesung beweisen wir den folgenden Satz.
Satz. Jede stetige Funktion auf einem Interval  ⊂ R hat eine Stammfunktion auf
diesem Intervall.
Für die Eindeutigkeit von Stammfunktion gilt folgendes.
Satz 4.1 Ist  eine Stammfunktion von  auf einem Intervall  ⊂ R, so jede
Stammfunktion von  hat die Form  () + , wobei  eine beliebige Konstante ist.
Beweis. Gilt  0 =  , so gilt auch ( + )0 =  0 =  . Somit ist  +  auch
eine Stammfunktion von . Umgekehrt, ist  noch eine Stammfunktion von 
so gilt auf  die Identität  0 = 0 =  woraus folgt ( −  )0 = 0 on . Nach
dem Konstantentest (Satz 3.24 aus Analysis I) ist die Funktion  −  gleich eine
Konstante auf . Bezeichnen wir diese Konstante mit  und erhalten  () =
 () +  für alle  ∈ , was zu beweisen war.
Definition. Die Menge von allen Stammfunktionen von  () wird mit
Z
 () 
bezeichnet (“Integral von  von  dx”). Dieser
Ausdruck heißt auch das unbestimmte
R
Integral von . Nach dem Satz 4.1 ist  ()  eine Funktion bis zur additiven
Konstante.
Der Grund für diese Notation wird später geklärt. Im Moment zeigen wir die
Beziehung zwischen den Begriffen von Integral und Differential. Das Differential
von einer differenzierbaren Funktion  ist der Ausdruck
 =  0 () 
(4.1)
wobei  is eine unabhängige Variable ist, die das Differential von  heißt. Somit
ist  eine lineare Funktion von  (für jedes ).
Nach der obigen Definition gilt
µZ
¶0
 ()  =  () 
was nach (4.1) äquivalent zu

Z
 ()  =  () 
(4.2)
 0 ()  =  () + 
(4.3)
ist. Nach dem Satz 4.1 gilt
Z
was sich wie folgt umgeschrieben lässt:
Z
 () =  () + 
(4.4)
4.1. UNBESTIMMTES INTEGRAL
3
R
Der Vergleich von (4.2) und (4.4) zeigt, dass die Symbolen  und
sich formal
wegkürzen lassen (bis zur Konstante), d.h. die Operationen Integral und Differential
zueinander invers sind. R
Die Operation  7→   heißt unbestimmte Integration. In diesem Kapitel
lernen wir die Methoden von unbestimmten Integration. Die einfachste Methode ist
die in der Differentialrechnung erhaltenden Identitäten umzukehren. Zum Beispiel,
da
µ +1 ¶0

=    6= −1
+1
so ergibt (4.3) die folgende Identität:
Z
  =
+1
+ .
+1
Für allgemeines  ∈ R \ {−1} gilt diese Identität auf (0 +∞), für  ∈ N ∪ {0} gilt
sie auf R, und für  ∈ (−N) — auf (−∞ 0) und (0 +∞).
Insbesondere erhalten wir
Z
 =  + 
Z
2
 =
+ 
2
Z
√
32
+ 
 =
32
Z

1
= − + 
2


Da (ln ||)0 =
1

auf (0 +∞) und (−∞ 0), so erhalten wir
Z

= ln || +  auf (0 +∞) und (−∞ 0) 

Umkehrung von Ableitung von Exponentialfunktion ergibt
Z
exp ()  = exp () + 
und auch
Z
  =

+
ln 
für   0  6= 1
Umkehrung von Ableitungen von trigonometrischen Funktionen ergibt:
Z
sin  = − cos  + 
Z
cos  = sin  +  
4
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Z

= tan  +  
cos2 
auf jedem Intervall wo cos  nicht verschwindet,
Z

= − cot  +  
sin2 
auf jedem Intervall wo sin  nicht verschwindet. Umkehrung von Ableitungen von
inversen trigonometrischen Funktionen ergibt
Z

√
= arcsin  +  auf (−1 1) 
1 − 2
Z

= arctan  +  auf (−∞ ∞) 
1 + 2
Betrachten wir die Hyperbelfunktionen
¢
1¡ 
1
 + −  sinh  = ( −  ) 
2
2
cosh 
1
sinh 
 coth  =
=

tanh  =
cosh 
sinh 
tanh 
cosh  =
cosh
y
10
5
-3
tanh
-2
-1
1
2
3
x
-5
sinh
-10
Umkehrung von Ableitungen von den Hyperbelfunktionen ergibt
Z
sinh  = cosh  + 
Z
Z
cosh  = sinh  + 
1
= tanh  + 
cosh2 
4.1. UNBESTIMMTES INTEGRAL
Z
5
1
= coth  +  auf (0 ∞) und (−∞ 0)
sinh2 
Die Hyperbelfunktionen haben die folgenden inversen Funktionen.
Die inverse Funktion von sinh wird mit arsinh  bezeichnet. Sie hat den Definitionsbereich (−∞ ∞) und die Ableitung
1

(arsinh )0 = √
2
 +1
y
4
3
artanh
2
arcosh
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
arsinh
5
x
-2
-3
-4
Die inverse Funktion von cosh wird mit arcosh  bezeichnet. Sie hat den Definitionsbereich [1 ∞) und die Ableitung auf (1 ∞)
1
(arcosh )0 = √

2
 −1
Die inverse Funktion von tanh wird mit artanh  bezeichnet. Sie hat den Definitionsbereich (−1 1) und die Ableitung
(artanh )0 =
1

1 − 2
Darüber hinaus gelten die Identitäten:
³
´
√
arsinh  = ln  + 2 + 1 
³
´
√
arcosh  = ln  + 2 − 1 
artanh  =
1 1+
ln

2 1−
∈R
 ≥ 1
−1    1
Somit erhalten wir folgendes:
Z
√
¢
¡

√
= arsinh  +  = ln  + 2 + 1 +  
2 + 1
6
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Z
³
´
√

2 − 1 +  auf (1 +∞) 
√
=
arcosh

+

=
ln

+

(4.5)
2 − 1
Z

1 1+
+  auf (−1 1) 
(4.6)
= artanh  +  = ln
2
1−
2 1−
Die Identität (4.5) lässt sich wie folgt verallgemeinern:
Z
¯
¯
√

√
= ln ¯ + 2 − 1¯ +  auf (1 +∞) und (−∞ −1) 
2 − 1
¯
¯
√
(siehe Aufgaben). Die Funktion ln ¯ + 2 − 1¯ auf (1 +∞) ∪ (−∞ −1) heißt der
lange Logarithmus:
y
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
Die Identität (4.6) lässt sich auf die Intervalle (−∞ −1)  (−1 1)  (1 +∞) wie
folgt erweitern:
¯
¯
Z
1 ¯¯ 1 +  ¯¯

+
= ln ¯
1 − 2
2
1 − ¯
¯ ¯
¯ heißt der hohe Logarithmus:
(siehe Aufgaben). Die Funktion ln ¯ 1+
1−
y
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
5
x
4.2. LINEARITÄT DES UNBESTIMMTEN INTEGRALS
7
Die obigen Identitäten in den Rahmen liefern eine einfache Tabelle von Stammfunktionen, die auch Integraltabelle heißt. Die Einträge von dieser Tabelle heißen
Grundintegrale. Es gibt lange Tabellen von Stammfunktionen mit tausenden Einträgen. Es gibt auch viele Programme, die Stammfunktion explizit bestimmen können.
Diese Programme benutzen die ausführlichen Tabellen von Stammfunktionen und
bestimmte Rechenregeln.
R
Die Operation  7→  ()  heißt Integration oder Integrieren. Die Funktion
 () heißt der Integrand, die Variable  heißt die Integrationsvariable. Natürlich
ist der Wert von Integral unabhängig von der Notation der Integrationsvariable.
Integrieren ist normalerweise viel schwieriger als Differenzieren. Darüber hinaus
ist es nicht immer möglich das Integral explizit (durch
Funktionen) zu
R 2 elementare
R sin 
bestimmen; z.B. das ist der Fall für die Integrale  ,
 und andere.

Unterhalb entwickeln wir die Technik des Integrierens für explizite Berechnung
von Integralen (wenn möglich). Diese Technik besteht aus drei allgemeinen Regeln —
Linearität, partielle Integration und Substitution, die häufig ein gegebenes Integral
auf Grundintegrale zurückzuführen helfen. Da Integrieren eine inverse Operation
von Differenzieren ist, so erhält man meist die Rechenregeln von Integrieren als
Umkehrung von den Rechenregeln von Differenzieren.
Es gibt auch spezielle Integrationsverfahren für spezielle Klassen von Integranden.
4.2
Linearität des unbestimmten Integrals
Satz 4.2 RSeien  und
R  zwei Funktion auf einem Intervall . Existieren die beiden
Integrale   und  auf , so für alle   ∈ R (mit  6= 0 oder  6= 0) gilt
Z
Z
Z
( + )  =    +  
(4.7)
Beweis. Wir müssen beweisen, dass die Ableitung der rechten Seite gleich  + 
ist. Die Linearität von Ableitung (Satz 3.16) ergibt
µZ
¶0
µZ
¶0
µ Z
¶0
Z
= 
 + 

  +  
=  + 
was zu beweisen war.
´2
R³
Beispiel. 1. Bestimmen wir
 + √1 . Nach dem Binomischen Lehrsatz gilt
es
¶2
µ
√
1
1
1
1
= 2 + 2 √ + = 2 + 2  + 
+ √


 
und somit
¶2
Z
Z
Z
Z µ
1
1
2
12
+ √

 =
  + 2   +


3 432
=
+
+ ln || + 
3
3
8
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
2. Bestimmen wir
R

.
sin2  cos2 
Bemerken wir, dass
1
1
sin2  + cos2 
1
+
=
=

2
2
2
cos  sin2 
sin  cos2 
sin  cos2 
woraus folgt
Z
4.3

=
2
sin  cos2 
Z

+
cos2 
Z

= tan  − cot  + 
sin2 
Partielle Integration
Seien  () und  () zwei Funktionen auf einem Intervall . Ist  differenzierbar, so
betrachten wir den Ausdruck
Z
Z
Z
 ≡  ()  () :=  ()  0 () 
Satz 4.3 Seien   zwei stetig differenzierbare Funktionen auf einem Intervall .
Dann gilt auf diesem Intervall die Identität
Z
Z
 =  − 
(4.8)
Beweis. Die Identität (4.8) lässt sich ausführlicher wie folgt umschreiben:
Z
Z
0
  =  − 0 
(4.9)
Da die Funktionen 0 und 0 stetig sind, so die beiden Integrale in (4.9) existieren.
Um (4.9) zu beweisen, es reicht zu zeigen, dass die Ableitung der rechten Seite gleich
 0 ist. In der Tat gilt es
µ
¶0
Z
0
 −  
= ()0 − 0
= (0  +  0 ) − 0
=  0 
was zu beweisen war.
Bemerkung. Im Beweis haben wir die Produktregel (Satz 3.16) für die Ableitung
()0 benutzt. Somit kann die Identität (4.8) als eine Umkehrung von der Produktregel betrachtet werden.
R
Beispiel. 1. Bestimmen ln  Für  = ln  und  =  haben wir
Z
Z
Z
1
ln  =  ln  −  ln  =  ln  −   =  ln  −  + 

4.4. INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION
so dass
Z
9
ln  =  ln  −  + 
R
2. Bestimmen 2   Wir benutzen, dass   =  . Für  = 2 und  = 
haben wir
Z
Z
Z
Z
2 
2 
2 

2
2 
   =   =   −   =   − 2  
R
Um   zu bestimmen, wir benutzen den Satz 4.3 wieder, diesmal mit  = 
und  =  :
Z
Z
Z



  =  =  −   =  −  + 
Somit erhalten wir
3. Bestimmen
Z
2   = 2  − 2 + 2 + 
√
R√
1 + 2  Für  = 1 + 2 und  = , erhalten wir
Z
Z √
√
2 
2
2
1 +   =  1 +  − √
1 + 2
Z
Z
√
(1 + 2 ) 

2
√
=  1+ −
+ √
2
1+
1 + 2
Z
³
´
√
√
√
2
2
2
=  1+ −
1 +   + ln  +  + 1 + 
Wir sehen, dass dasselbe Integral in den Beiden Seiten erscheint. Verschieben das
Integral nach links und Dividieren durch 2 ergibt
Z
4.4
√
√
√
¡
¢
1 + 2  = 12  2 + 1 + 12 ln  + 2 + 1 + 
Integration durch Substitution
Satz 4.4 Sei  eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall  mit  () ⊂ 
wobei  noch ein Intervall ist. Sei  eine Funktion auf  mit der Stammfunktion
 . Dann gilt
Z
 ( ())  () =  ( ()) + 
(4.10)
Beweis. Die beiden Funktionen  ( ()) und  ( ()) haben den Definitionsbereich . Da
Z
Z
 ( ())  () =  ( ()) 0 () 
10
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
so ist die Identität (4.10) äquivalent zu
( ( ()))0 =  ( ()) 0 () 
In der Tat erhalten wir nach der Kettenregel (Satz 3.17) und  0 = , dass
 ( ())0 =  0 ( ()) 0 () =  ( ()) 0 () 
was zu beweisen war.
Bemerkung. Da  eine Stammfunktion von  ist, so gilt es
Z
 ()  =  () + 
wobei  hier eine Integrationsvariable ist. Die Identität (4.10) besagt, dass die Integrationsvariable  hier durch eine differenzierbare Funktion  =  () ersetzt werden
kann. Die Formel (4.10) heißt die Substitutionsregel von Integration. Es ist klar aus
dem Beweis, dass die Substitutionsregel eine Umkehrung von der Kettenregel ist.
Beispiel. 1. Bestimmen wir
wobei  6= 0. Da
Z
( + ) 
 ( + ) = 
und somit
1
 =  ( + ) 

so erhalten wir mit der Substitution  =  + 
Z
Z
Z
1
1


( + )  =
( + )  ( + ) =
 


Andererseits gilt es
Z
woraus folgt
⎧
⎨ +1
+   6= −1

  =
+1
⎩ ln
|| +   = −1
⎧
+1
⎪
⎨ ( + )
+   6= 1
 ( + 1)
( + )  =
⎪
⎩ 1 ln | + | +   = −1

2. Bestimmen wir
Z


2 − 1
Das ist ein Grundintegral, aber trotzdem zeigen wir, wie man dieses Integral unabhängig berechnen kann. Da
µ
¶
1
1
1
1
1
=
=
−

2 − 1
( − 1) ( + 1)
2 −1 +1
Z
4.4. INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION
11
so erhalten wir
Z
3. Bestimmen wir
Z
Z



1
1
=
−
2
 −1
2
−1 2
+1
Z
Z
 ( − 1) 1
 ( + 1)
1
=
−
2
−1
2
+1
1
1
=
ln | − 1| − ln | + 1| + 
2 ¯
¯ 2
1 ¯¯  − 1 ¯¯
+ 
ln
=
2 ¯ + 1¯
Z
Da
µ
2
 = 
2
so haben wir
Z


1 + 2
¶
1

=
2
1+
2
¢
1 ¡
=  1 + 2 
2
Z
 (1 + 2 )

1 + 2
Substitution  = 1 + 2 ergibt
Z
Z
¢
 1
1 ¡
1

= ln || +  = ln 1 + 2 + 
=
2
1+
2

2
2
4. Bestimmen wir
Z


sin 
Mit der Substitution  = cos  erhalten wir
Z
Z
Z
Z
Z
sin 

 cos 
 cos 

=
=
=−
=
2
2
2
2
sin 
cos  − 1
 −1
sin
sin 
¯  ¯
¯
¯
1 1 − cos 
1 ¯ − 1¯
+  = ln
ln ¯
+ 
=
¯
2
+1
2 1 + cos 
Um die Antwort weiter vereinfachen zu können, benutzen wir die trigonometrische
Identität
1 − cos 

= tan2 
1 + cos 
2
was ergibt
5. Bestimmen wir
Z
¯
¯

= ln ¯tan 2 ¯ + 
sin 
Z
arcsin 
12
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Wir haben:
Z
Z
arcsin  =  arcsin  −  arcsin  (partielle Integration)
Z

=  arcsin  − √

1 − 2
Z
 (1 − 2 )
1
√
=  arcsin  +
(Substitution  = 1 − 2 )
2
2
1
−

Z
1
−12 
(Grundintegral)
=  arcsin  +
2
=  arcsin  + 12 + 
√
=  arcsin  + 1 − 2 + 
Somit gilt es
4.5
Z
arcsin  =  arcsin  +
√
1 − 2 + 
Integration von rationalen Funktionen
Ein Polynom  () über R ist eine Funktion der Art
 () = 0 + 1  +  +  
wobei  ∈ Z+ , 0    reellwertige Koeffizienten sind und  eine reellwertige Variable. Gilt  6= 0 so heißt  der Grad des Polynoms.
Man kann die Polynome auch über C betrachten, d.h. mit komplexwertigen
Koeffizienten und Variable  ∈ C, aber in diesem Abschnitt brauchen wir nur die
Polynome über R.
Eine Funktion  heißt rational falls  als Quotient zweier Polynome darstellbar
ist, d.h.
 ()
 () =
 ()
mit Polynomen  () und  ().
Integrationsverfahren für die rationalen Integrande basiert auf dem folgenden
Satz.
Satz. () Jedes Polynom  () mit reellwertigen Koeffizienten lässt sich wie folgt
faktorisieren:
¡
¢
¢
¡
 () =  ( − 1 )1  ( −  ) 2 + 1  + 1 1  2 +   +   
(4.11)
wobei   ∈ Z+ ,       ∈ R,    ∈ N, und die Polynome 2 +   + 
keine reelle Nullstelle haben. Darüber hinaus alle Zahlen  sind verschieden und die
Paaren (   ) sind auch verschieden.
4.5. INTEGRATION VON RATIONALEN FUNKTIONEN
13
() (Partialbruchzerlegung) Jede rationale Funktion  () =
folgt darstellen:
 () =  () +

 X
X


( −  )
=1 =1
+

 X
X
=1 =1
 ()
()
lässt sich wie
  + 

+   +  )
(2
(4.12)
wobei  () ein Polynom ist,          sind wie in (4.11), und      ∈ R.
Der Teil () wird später in diesem Vorlesungskurs bewiesen und ist eine Folgerung
des Fundamentalsatzes der Algebra. Teil () wird in Algebra mit Hilfe von Division
von Polynomen bewiesen.
Die Identität (4.12) bedeutet, dass jede rationale Funktion sich darstellen lässt
als die Summe von einem Polynom und einigen Partialbrüchen


( − )

(2
 + 

+  + )
Jeder lineare Faktor ( −  ) in (4.11) ergibt in (4.12) eine Summe
1

2

+
2 +  +
( −  ) ( −  )
( −  )

und jeder quadratische Faktor (2 +   +  )
in (4.11) ergibt in (4.12) eine Summe
1  + 1
2  + 2
2  + 2
+
+

+

2
2 +   +  (2 +   +  )
(2 +   +  )
Zum Beispiel, die rationale Funktion  () =
tialbruchzerlegung:
1
(−1)2 (2 +1)
hat die folgende Par-
1
2
1
 + 
+

=
+ 2
2
 − 1 ( − 1)
 +1
( − 1) (2 + 1)
2
wobei die Koeffizienten 1  2    noch bestimmt werden müssen (sieheR unterhalb).
Wir benutzen die Partialbruchzerlegung (4.12) um das Integral  ()  zu
berechnen. Das Polynom  () lässt sich einfach integrieren, da es eine Summe der
Glieder der Form  ist. Besprechen wir jetzt, wie integriert man die Partialbrüche.

Der Partialbruch erster Art (−)
 wird wie folgt integriert:
Z


( − )
Z
 ( − )
= (Substitution  =  − )
⎧
Z
⎨ 1−
+   =
6 1
−
=    = 
1−
⎩ ln
|| +   = 1
⎧
⎨ ( − )1−
+   6= 1
= 
1−
⎩
ln | − | + 
 = 1
 = 
( − )
14
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Integrieren den Partialbruch zweiter Art
wir 2 +  +  in der Form
+
(2 ++)
ist schwieriger. Schreiben
¡
¢
2 +  +  = ( + 2)2 +  − 2 4 = 2 + 2 
p
mit  =  + 2 und  =  − 2 4  0 und erhalten
Z
Z
0  + 0
 + 

=

(2 +  + )
(2 + 2 )
Z
Z


0
0

= 
 +
2
2
2
( +  )
( + 2 )
Somit bleibt es die folgenden Integrale zu berechnen:
Z
Z



 und
2
2
2
( +  )
( + 2 )
Das erste Integral ist einfach:
Z
Z
 (2 + 2 )
1

(Substitution  = 2 + 2 )
 =

2
2
2
2
( +  )
2
( +  )
⎧
1−
Z
1
1⎨ 
+   6= 1
−
=
  =
1
−

⎩
2
2
ln || + 
 = 1
⎧
1−
2
2
1 ⎨ ( +  )
+   6= 1
=
1−
2⎩
 = 1
ln (2 + 2 ) + 
(4.13)
Das zweite Integral in (4.13) lässt sich per Induktion nach  berechnen. Dafür
setzen wir
Z

 () =
2
( + 2 )
und bemerken, dass
Z
Z
Z
 ()



1
1
¢
¡
1 () =
arctan
+ 
=
=
=
2
2
2 + 2



2 () + 1
() + 1
d.h.
Z
2

= 1 arctan  +  
2
+
Partielle Integration von  ergibt
Z

1
 () =
 2
 −
2
2
( +  )
( + 2 )
Z

2 
=
+
2
(2 + 2 )
(2 + 2 )+1
Z
Z
2 + 2


2
=
 + 2
+1  − 2
2
2
2
2
2
( +  )
( +  )
( + 2 )+1

=
+ 2 − 22 +1 
2
( + 2 )
4.5. INTEGRATION VON RATIONALEN FUNKTIONEN
15
Daraus folgt die Relation zwischen  und +1
µ
¶

1
+1 =
+ (2 − 1)  
22 (2 + 2 )
und somit lässt  sich per Induktion nach  bestimmen.
Eine Funktion heißt elementar falls sie sich durch die Funktionen
const     ln  sin  cos  arcsin  arctan 
mit Hilfe von Operationen Addition, Multiplikation, Division und Komposition
darstellen lässt. Alle Funktionen, die wie bisher benutzt haben,
R sind elementar.
Man sagt, dass eine Funktion  elementar integrierbar ist falls  ()  eine elementare Funktion ist. Wir haben oberhalb schon viele Beispiele von elementar
integrierbaren Funktionen gesehen. Andererseits, wie es schon erwähnt wurde, es
2
gibt die elementaren Funktionen die nicht elementar integrierbar sind, z.B.  und
sin 
.

Nach dem obigen Argument erhalten wir die folgende Behauptung.
Behauptung. Jede rationale Funktion  () ist elementar integrierbar.
Beispiel. 1. Bestimmen wir
Z


−
3
Der Nenner lässt sich wie folgt zerlegen:
3 −  =  ( − 1) ( + 1) 
Somit has die Funktion
3
1
3 −
die folgende Partialbruchzerlegung:
1



1
=
= +
+

−   ( − 1) ( + 1)
 −1 +1
(4.14)
wobei die Koeffizienten    noch bestimmt werden sollen. Diese Identität soll für
alle  ∈ R \ {0 1 −1} erfüllt werden. Um  zu bestimmen, multiplizieren wir (4.14)
mit :
µ
¶
1


=+
+
(4.15)
2 − 1
−1 +1
und bemerken, dass diese Identität für alle  ∈ R \ {0 1 −1} gilt, genau wie (4.14).
Aber die beiden Seiten von (4.15) sind auch für  = 0 definiert. Nach der Stetigkeit
der beiden Seiten von (4.15) gilt die Gleichheit (4.15) auch in  = 0. Setzen wir in
(4.15)  = 0 und erhalten
 = −1
Analog ergibt Multiplizieren von (4.14) mit  − 1 die folgende Identität
µ
¶
1


=  + ( − 1)
+

 ( + 1)
 +1
woraus für  = 1 folgt
1
= 
2
16
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Multiplizieren von (4.14) mit  + 1 ergibt
µ
¶
1


=  + ( + 1)
+

 ( − 1)
 −1
woraus für  = −1 folgt
1
= 
2
Somit erhalten wir
3
und
Z
1
1 1 1
1 1
=− +
+
−
 2−1 2+1
1
1

= − ln || + ln | − 1| + ln | + 1| + 
−
2
2
2. Bestimmen wir das Integral
Z


(2 + 1) ( − 1)2
3
Die Partialbruchzerlegung der Funktion  () =
1
(2 +1)(−1)2
hat die Form
1
 + 
1
2
+ 2

=
+
2
2
−1  +1
(2 + 1) ( − 1)
( − 1)
(4.16)
wobei die Koeffizienten     noch bestimmt werden sollen. Multiplizieren diese
Identität mit ( − 1)2 ergibt
2
wobei  () =
+
.
2 +1
1
= 1 + 2 ( − 1) + ( − 1)2  () 
+1
Für  = 1 erhalten wir
1
1 = 
2
Subtrahieren von (4.16) den Glied
µ
1
1
2 (−1)2
ergibt
¶
2
1
1
1
−
+  ()
2 =
2
( + 1) 2 ( − 1)
−1
2 − 1
1
2
−
+  ()
2 =
2
2 ( + 1) ( − 1)
−1
+1
2
1
=
+  () 
−
2
2 ( + 1) ( − 1)
−1
Multiplizieren mit  − 1 ergibt
−
woraus für  = 1 folgt
1 +1
= 2 + ( − 1)  () 
2 2 + 1
1
2 = − 
2
(4.17)
4.5. INTEGRATION VON RATIONALEN FUNKTIONEN
17
Einsetzen von 2 in (4.17) lässt uns  () bestimmen wie folgt:
−
+1
1 1
1
+
=  ()
2
2 ( + 1) ( − 1) 2  − 1
und somit
 () =
1
1 
1 2 + 1 − ( + 1)
 ( − 1)
=
=

2
2
2 ( + 1) ( − 1)
2 ( + 1) ( − 1)
2 2 + 1
so dass  () wirklich die Form +
2 +1 mit  =
die folgende Partialbruchzerlegung von :
 () =
1
2
und  = 0 hat. Somit erhalten wir
1
1
1 1
1 
+

2 −
2 ( − 1)
2  − 1 2 2 + 1
Jetzt können wir jedes Glied von
Z
Z

=
( − 1)2
Z
=
 () integrieren:
 ( − 1)
( − 1)2
−2  =
(Substitute  =  − 1)
−1
+
−1
1
+ 
1−
Z
Z
 ( − 1)
1
 =
= ln | − 1| + 
−1
−1
Z
Z
¢
 (2 + 1)

1
1 ¡ 2
=
=
ln

+
1
+ 
2 + 1
2
2 + 1
2
=
woraus folgt
Z
 ()  =
3. Bestimmen wir
¢
1
1 ¡
1 1
− ln | − 1| + ln 2 + 1 + 
21− 2
4
Z
(2


+ 2 + 5)2
Das Polynom 2 + 2 + 5 hat keine Nullstelle, und somit ist die Funktion
schon ein Partialbruch zweiter Art. Wir haben
2 + 2 + 5 = ( + 1)2 + 4
und mit Substitution  =  + 1 erhalten wir
Z
Z



2 =
2
2
( + 2 + 5)
( + 4)2
Zuerst benutzen wir, dass
Z
Z
 (2)

1

1
=
= arctan + 
2
2
 +4
2
2
2
(2) + 1
1
(2 +2+5)2
18
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Partielle Integration ergibt
Z


= 2
2
 +4
 +4

= 2
 +4

= 2
 +4

= 2
 +4
Z
1
+4
Z
2
+ 

(2 + 4)2
Z 2
 +4−4
+2

(2 + 4)2
Z
Z


+2
−8

2
 +4
(2 + 4)2
−

2
Daraus folgt, dass
Z
Z
1
1

1


8
+
 = 2
+ arctan + 
 = 2
2
2
 +4
 +4
 +4 2
2
(2 + 4)
und somit
und
4.6
Z
Z
1


1
+
arctan
+ 
 =
2
8 (2 + 4) 16
2
(2 + 4)

+1
1
+1
=
+
arctan
+ 
2
8 (2 + 2 + 5) 16
2
(2 + 2 + 5)
Bestimmtes Integral (Riemann-Integral)
Sei  () eine Funktion auf einem Intervall [ ] wobei   ∈ R und   . Wir
definieren hier den Begriff von bestimmten Integral
Z

 () 
(4.18)

Das ist eine reelle Zahl, die man als der Flächeninhalt unter dem Graph der Funktion
 betrachten kann. Das Verfahren für Definition des bestimmten Integrals wurde
von Riemann eingeführt. Somit heißt das Integral (4.18) auch Riemann-Integral
oder Riemannsches Integral.
Eine Zerlegung von dem Intervall [ ] ist jede endliche streng monoton steigende
Folge { }=0 mit  ∈ N, 0 =  und  = , d.h.
 = 0  1  2   −1   = 
Wir bezeichnen eine Zerlegung mit , d.h.  ist die ganze Folge { }=0 wie oberhalb.
Gegeben sei eine Zerlegung  von [ ], betrachten wir noch eine Folge  =
{  }=1 von Zahlen   mit   ∈ [−1   ]. Dann heißen   die Zwischenstellen von
.
4.6. BESTIMMTES INTEGRAL (RIEMANN-INTEGRAL)
19
Definition. Für jede Funktion  : [ ] → R und für jede Zerlegung  von [ ]
mit den Zwischenstellen  definieren wir die Riemann-Summe mit
 (  ) =

X
 (  ) ∆ 
=1
wobei
∆ :=  − −1 
Geometrische Bedeutung der Summe  (  ) ist wie folgt. Ist  auf [ ]
nichtnegative, so heißt die folgende Menge
©
ª
( ) ∈ R2 :  ≤  ≤  0 ≤  ≤  ()
der Untergraph von . Die Riemann-Summe  (  ) ist gleich die Summe von
Flächeninhalten von Rechtecken mit der Basis [−1   ] und der Höhe  (  ), was
eine Annäherung von dem Flächeninhalt des Untergraphes von  () ist.
y
f(x)
a=x0
xk-1 k xk
b=xn
x
Der Approximationsfehler dieser Annäherung wird fallen wenn die Feinheit der
Zerlegung gegen 0 geht. Für jede Zerlegung  = { }=0 definieren wir die Feinheit
von  mit
 () = max {∆ } 
1≤≤
Der Grenzwert von Riemann-Summen  (  ) für  () → 0 wird wie folgt
definiert.
Definition. Wir schreiben
lim  (  ) = 
()→0
mit einem  ∈ R, fall für jedes   0 existiert ein   0 so dass für jede Zerlegung
 mit  ()   und für jede Folge  von Zwischenstellen von  gilt
| (  ) − |  
20
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Definition. Eine Funktion  auf [ ] heißt Riemann-integrierbar falls der Grenzwert
lim  (  )
()→0
existiert. Der Wert des Grenzwertes heißt das Riemann-Integral (=bestimmtes Intergal) von  und wird mit
Z 
 () 

bezeichnet.
In anderen Wörter, wir haben nach Definition
Z 

X
 ()  = lim
 (  ) ∆ 
()→0

(4.19)
=1
R
vorausgesetzt, dass lim existiert. Die Notation   ()
P wurde von by Leibniz
vorgeschlagen und wurde so gewählt, um an die Summe =1  (  ) ∆ zu erinnern.
R
Für nichtnegative Funktion  heißt der Wert von   ()  auch der Flächeninhalt
des Untergraphes von .
Die folgenden Fragen sollen unterhalb betrachtet werden.
1. Welche Funktionen sind Riemann-integrierbar?
2. Wie kann man den Wert von Riemann-Integral bestimmen?
3. Wofür benutzt man das Riemann-Integral?
4. Welche Beziehung gibt es zum unbestimmten Integral
R
 () ?
Wir fangen mit zwei Beispielen an.
Beispiel. 1. Sei  () ≡  eine Konstantefunktion. Dann ist  Riemann-integrierbar
da für jede Zerlegung  mit Zwischenstellen  gilt
 (  ) =

X
 (  ) ∆ = 
=1

X
=1
∆ =  ( − )
und somit der Grenzwert in (4.19) existiert und ist gleich  ( − ), d.h.
Z 
 =  ( − ) 
(4.20)

2. Sei  die Dirichlet-Funktion
 () =
½
1  ∈ Q
0  ∈
Q
Dann ist  auf jedem Intervall [ ] nicht Riemann-integrierbar. Gegeben sei eine
Zerlegung  = { }=0 , wählen wir alle Zwischenstellen   irrational. Dann gilt
 (  ) = 0 und somit
 (  ) = 0
4.7. DARBOUX-INTEGRIERBARKEIT
21
Andererseits, für die gleiche Zerlegung wählen wir jetzt die anderen Zwischenstellen
  so dass   rational sind. Dann gilt  (  ) = 1 und somit
 (  ) =  − 
Wir sehen, dass lim()→0  (  ) nicht existiert.
4.7
Darboux-Integrierbarkeit
Gegeben sei eine Funktion  : [ ] → R und eine Zerlegung  von [ ], definieren
wir die obere Darboux-Summe von  und  mit

X
∗
 ( ) =
( sup )∆
=1 [−1  ]
und die untere Darboux-Summe mit
∗ ( ) =
∗

X
( inf
=1
[−1  ]
)∆ 
Bemerken wir, dass  ( ) Element von (−∞ +∞] ist und ∗ ( ) Element von
[−∞ +∞) ist.
Die Darboux-Summen brauchen keine Zwischenstellen. Die obere Summe  ∗ ( )
ist die Summe von Flächeninhalten von Rechtecken, die den Untergraph von 
überdecken:
y
f(x)
a
xk-1
xk
b
x
und die untere Summe ∗ ( ) ist die Summe von Flächeninhalten von Rechtecken,
die im Untergraph enthalten werden:
y
f(x)
a
xk-1
xk
b
x
22
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Da für jede Zwischenstelle   ∈ [−1   ] gilt
inf
[−1  ]
 ≤  (  ) ≤ sup 
[−1  ]
so erhalten wir, dass für jeder Wahl Zwischenstellen  von  gilt
∗ ( ) ≤  (  ) ≤  ∗ ( ) 
(4.21)
Definition. Funktion  heißt Darboux-integrierbar wenn
lim ( ∗ ( ) − ∗ ( )) = 0
()→0
d.h.
∀  0 ∃  0 ∀ mit  ()   gilt | ∗ ( ) − ∗ ( )|  
Satz 4.5 Sei  eine Funktion auf [ ]. Die folgenden drei Eigenschaften sind
äquivalent:
() Funktion  ist Riemann-integrierbar.
() Funktion  ist Darboux-integrierbar.
() Die Grenzwerte lim()→0 ∗ ( ) und lim()→0  ∗ ( ) existieren in R und
sind gleich.
Darüber hinaus unter jeder von Bedingungen ()  ()  () gelten die Identitäten:
Z 
∗
lim  ( ) = lim ∗ ( ) =
 ()  = sup ∗ ( ) = inf  ∗ ( ) 
()→0
()→0



(4.22)
Definition. Die Funktion  heißt integrierbar fall  eine (⇔jede) von Bedingungen
()  ()  () erfüllt.
Beweis. () ⇒ () Setzen wir
=
Z

 () 

Nach Definition, ∀  0 ∃  0 so dass für jede Zerlegung  mit  ()   und jede
Folge von Zwischenstellen  gilt
| (  ) − |  
Wählen wir die Zwischenstellen   ∈ [−1   ] so dass  (  ) sehr nahe zu sup[−1  ]  ()
ist. Dann der Wert von  (  ) kann beliebig nahe zu  ∗ ( ) sein, woraus folgt,
dass
| ∗ ( ) − |  
4.7. DARBOUX-INTEGRIERBARKEIT
23
und somit
lim  ∗ ( ) = 
()→0
(4.23)
Analog beweist man, dass
lim ∗ ( ) = 
()→0
und somit () gilt. Gleichzeitig haben wir auch die beiden linken Identitäten in
(4.22) bewiesen.
() ⇒ () Trivial.
() ⇒ () Für zwei Zerlegungen  und  0 von [ ] schreiben wir  0 ⊂  falls
0
 als Menge eine Teilmenge von  ist. Man sagt, dass  eine Verfeinerung von  0
ist.
Behauptung 1. Im Fall  0 ⊂  gelten die Ungleichungen
 ∗ ( ) ≤  ∗ (  0 )
und
∗ ( ) ≥ ∗ (  0 ) 
D.h. die obere Summe von Verfeinerung fällt und die untere Summe steigt.
£
¤
0
Seien  = { }=0 und  0 = {0 }=0 . Da  0 ⊂ , jedes Intervall 0−1  0 von
 0 stimmt mit einem Intervall [   ] überein so dass
0−1 =   +1     = 0 
Daraus folgt, dass
¡
¢
( sup  ) 0 − 0−1 =
[−1  ]
≥

X
( sup  ) ( − −1 )
=+1 [−1  ]

X
( sup  ) ( − −1 ) 
=+1 [−1  ]
Addieren solche Ungleichungen für alle  ergibt  ∗ (  0 ) ≥  ∗ ( ). Die zweite
Ungleichung wir analog bewiesen.
Behauptung 2. Für zwei beliebige Zerlegungen  0 und  00 von [ ] gilt
∗ (  0 ) ≤  ∗ (  00 ) 
(4.24)
Die Vereinigung  =  0 ∪  00 ist auch eine Zerlegung von [ ]. Da  0 ⊂  und
 00 ⊂ , so erhalten wir nach Behauptung 1 und (4.21), dass
∗ (  0 ) ≤ ∗ ( ) ≤  ∗ ( ) ≤  ∗ (  00 ) 
woraus (4.24) folgt.
Jetzt beweisen wir, dass eine Darboux-integrierbare Funktion  auch Riemannintegrierbar ist. Setzen wir
 = sup ∗ ( ) und  = inf  ∗ ( ) 


(4.25)
24
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Es folgt aus der Behauptung 2, dass
 ≤ 
(4.26)
∗ ( ) ≤  ≤  ≤  ∗ ( ) 
(4.27)
Nach (4.25) und (4.26) gilt
Beweisen wir, dass
lim  (  ) = 
()→0
(4.28)
Nach (4.21) gilt
∗ ( ) ≤  (  ) ≤  ∗ ( ) 
Vergleich mit (4.27) zeigt, dass die beiden Werte  und  (  ) im gleichen Intervall [∗ ( )   ∗ ( )] liegen, woraus folgt
| (  ) − | ≤  ∗ ( ) − ∗ ( ) 
Da nach der Darboux-Integrabilität die rechte Seite für  () → 0 gegen 0 konvergiert, so erhalten wir (4.28) und somit auch die Riemann-Integrabilität von .
Die dritte Identität von (4.22) folgt aus (4.28), und die vierte wird analog bewiesen, da der obigen Argument auch für  statt  funktioniert.
4.8
Integrierbare Funktionen
Korollar 4.6 (Notwendige Bedingung für Integrabilität) Ist eine Funktion  auf
[ ] integrierbar, so ist  auf [ ] beschränkt.
Beweis. Nehmen wir das Gegenteil an, dass sup[]  = +∞. Für jede Zerlegung
 = { }=0 gibt es ein Intervall [−1   ] wo sup[−1  ]  = +∞, woraus folgt
 ∗ ( ) = +∞
Da immer ∗ ( )  +∞, so erhalten wir
 ∗ ( ) − ∗ ( ) = +∞
und  ist nicht Darboux-integrierbar. Somit muss es gelten sup[]   +∞, und
analog inf []   −∞, was zu beweisen war.
Der folgende Satz gibt uns viele Beispiele von integrierbaren Funktionen.
Satz 4.7 (Hinreichende Bedingungen für Integrierbarkeit)
() Jede stetige Funktion  auf [ ] ist auf diesem Intervall integrierbar..
() Jede monotone Funktion  auf [ ] ist auf diesem Intervall integrierbar.
4.8. INTEGRIERBARE FUNKTIONEN
25
Für dem Beweis von () brauchen wir den Begriff von gleichmäßiger Stetigkeit.
Definition. Eine Funktion  auf einem Intervall  heißt gleichmäßig stetig falls
∀  0 ∃  0 ∀  ∈  mit | − |   gilt | () −  ()|  
(4.29)
Erinnern wir uns, dass  stetig auf  ist, falls  stetig an jeder Stelle  ∈ , d.h.
for any  ∈  for any   0 there exists   0 such that
∀ ∈  ∀  0 ∃  0 ∀ ∈  mit | − |   gilt | () −  ()|  
(4.30)
In (4.30) hängt  von  ab, wobei in (4.29)  gleich für alle  ist, was das Wort “gleichmäßig” erklärt. Offensichtlich ist jede gleichmäßig stetige Funktion auch stetig,
aber umgekehrt gilt es nicht immer.
Beispiel. Die Funktion  () = 1 ist stetig auf (0 1) aber nicht gleichmäßig stetig.
In der Tat, für jedes   0, wählen wir 0     und  = 2 so dass | − |  ,
während
¯
¯
¯1 1¯ 1
¯
| () −  ()| = ¯ − ¯¯ =
 

beliebige groß werden kann, da  beliebig nahe zum 0 gewählt werden kann.
Lemma 4.8 Ist  () stetig auf einem beschränkten abgeschlossen Intervall , so
ist  auf  gleichmäßig stetig.
Beweis. Nehmen wir das Gegenteil an, dass  auf  nicht gleichmäßig stetig ist.
Die Negation von (4.29) ergibt
∃  0 ∀  0 ∃  ∈  mit | − |   und | () −  ()| ≥ 
Wählen wir  =
1

für ein  ∈ N und somit bekommen    ∈  mit
| −  | 
1

(4.31)
und
| ( ) −  ( )| ≥ 
(4.32)
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (Satz 2.14) hat die Folge { } eine konvergente Teilfolge { }. Nach (4.31) erhalten wir, dass auch { } konvergiert und
lim  = lim  
→∞
→∞
Nach der Stetigkeit von  daraus folgt
lim  ( ) = lim  ( ) 
→∞
→∞
was im Widerspruch zu (4.32) steht.
Beweis von Satz 4.7(). Nach Lemma 4.8 ist die Funktion  gleichmäßig stetig
auf [ ], d.h. sie die Bedingung (4.29) erfüllt. Betrachten wir beliebige Zerlegung
26
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
 = { }=0 von [ ] mit  ()   Für jede   ∈ [−1   ] gilt | − |   und
somit
| () −  ()|  
Daraus folgt, dass
sup  −
[−1  ]
inf
[−1  ]
 ≤
und somit

X
 ( ) − ∗ ( ) =
( sup  −
∗
=1 [−1  ]

X
≤ 
=1
inf
[−1  ]
) ( − −1 )
( − −1 )
=  ( − ) 
Da  ( − ) beliebig klein sein kann, so erhalten
lim ( ∗ ( ) − ∗ ( )) = 0
()→0
Somit ist  Darboux-integrierbar und nach dem Satz 4.5 auch integrierbar.
Beweis von Satz 4.7().
{ }=0 von [ ] gilt
Sei  monoton steigend. Für jede Zerlegung  =
sup  =  ( ) und
[−1  ]
inf
[−1  ]
 =  (−1 )
woraus folgt
 ∗ ( ) − ∗ ( ) =
=

X
=1

X
=1
Ã
sup  −
[−1  ]
inf
[−1  ]

!
( − −1 )
( ( ) −  (−1 )) ( − −1 )
≤  ()

X
=1
( ( ) −  (−1 ))
=  () ( () −  ()) 
Somit erhalten wir
lim ( ∗ ( ) − ∗ ( )) = 0
()→0
woraus die Integrabilität von  folgt.
4.9
Fundamentalsatz der Analysis, I
Der nächste Satz etabliert eine Beziehung zwischen bestimmten und unbestimmten
Integralen.
4.9. FUNDAMENTALSATZ DER ANALYSIS, I
27
Hauptsatz 4.9 (Fundamentalsatz der Analysis Teil 1) Sei  () eine stetige Funktion auf einem beschränkten abgeschlossenen Intervall [ ]. Sei  () eine Stammfunktion von  auf diesem Intervall. Dann gilt die Identität
Z 
 ()  =  () −  () 
(4.33)

Die Identität (4.33) heißt auch Newton-Leibniz-Formel. Führen wir die folgende
Notation ein:
[ ] :=  () −  () 
R
Da  =  () , so lässt die Newton-Leibniz-Formel wie folgt umschreiben:
∙Z
¸
Z 
 ()  =
 ()  


In dieser Form liefert die Newton-Leibniz-Formel eine direkte Beziehung zwischen
bestimmten und unbestimmten Integralen.
Man kann (4.33) auch wie folgt umschreiben:
Z 
 0 ()  =  () −  () = [ ] 

Beweis. Nach dem Satz 4.7 ist  integrierbar. Nach Definition von RiemannIntegral haben wir
Z 
 ()  = lim  (  ) 
()→0

Fixieren wir eine Zerlegung  = { }=0 von [ ] und wählen die Zwischenstellen
 = {  }=1 wie folgt. Nach dem Mittelwertsatz (Satz 3.23 aus Analysis I), es gibt
  ∈ [−1   ] mit
 ( ) −  (−1 ) =  0 (  ) ( − −1 ) 
Für diese   erhalten wir
 (  ) =
=

X
=1

X
=1
=

X
=1
 (  ) ( − −1 )
 0 (  ) ( − −1 )
( ( ) −  (−1 ))
=  () −  () 
Somit kann der Grenzwert lim()→0  (  ) nur den Wert  ()− () annehmen,
woraus (4.33) folgt.
R
Mit Hilfe von der Newton-Leibniz-Formel kann man die Integrale   () 
effektiv berechnen.
Ist  ≥ 0, so definieren wir den Flächeninhalt des Untergraphes
R
von  als   () 
28
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Beispiel. 1. Für die Funktion  () = 1 − 2 erhalten wir
Z
1
−1
¡
¢
1 − 2  =
∙Z
¸1
∙
¸1
¢
¡
3
4
2
= −
= 
1 −  
3 −1 3
−1
Geometrisch bedeutet dies, dass der Flächeninhalt zwischen der Parabel  = 1 − 2
und der Achse  gleich 43 ist.
y
1.0
0.5
-1
0
1
x
Insbesondere beträgt dieser Flächeninhalt genau 23 von den Flächeninhalt von
dem kleinsten umschriebenen Rechteck [−1 1] × [0 1]  Diese Regel von 23 wurde erst
von Archimedes entdeckt. Er konnte den Flächeninhalt direkt als der Grenzwert
von Riemann-Summen berechnen, ohne Newton-Leibniz-Formel zu wissen.
2. Sei  () = 1 . Für alle   1 erhalten wir
Z
1


=

∙Z


¸
= [ln ]1 = ln 
(4.34)
1
Die Identität (4.34) lässt sich als eine unabhängige Definition von ln  benutzen.
Danach kann man auch eine neue Definition von exp geben als inverse Funktion
von ln  Insbesondere erhält man eine neue Definition von  als die Zahl mit der
Eigenschaft
Z 

= 1
1 
Der Graph der Funktion  = 1 heißt Hyperbel. Auf dem nächsten Bild ist der
Flächeninhalt unter der Hyperbel auf [1 ] gleich 1
4.9. FUNDAMENTALSATZ DER ANALYSIS, I
29
y
2
1
0
0
3. Für Funktion  () =
Z

0
1
1
1+2

=
1 + 2
∙Z
e
2
3
4
5
x
und   0 haben wir

1 + 2
¸
= [arctan ]0 = arctan 
0
Diese Identität lässt sich als unabhängige Definition von arctan benutzen. Dann
gibt man an eine neue Definition von  durch
Z 1


= arctan 1 =

2
4
0 1+
Auf dem nächsten Bild ist der Flächeninhalt des Untergraphes von  () =
[−1 1] gleich 2 
y
1
1+2
auf
1.5
1.0
0.5
-2
-1
0
1
2
x
Darüber hinaus kann man eine neue Definition von tan als inverse Funktion von
arctan erhalten.
R
Bemerkung. Erweitern wir die Definition von Integral   ()  zum Fall  ≥ 
wie folgt:
Z

 ()  = 0

(4.35)
30
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Z


 ()  = −
Z

 ()  für   
(4.36)

Die Newton-Leibniz-Formel gilt dann für beliebige   ∈ R: ist eine Funktion 
stetig differenzierbar auf einem Intervall , so gilt für alle   ∈ 
Z 
 0 ()  = [ ] :=  () −  () 

Für    was dies im Satz 4.9 bewiesen. Für  =  sind die beiden Seiten gleich 0.
Für    gilt
Z 
Z 
0
 ()  = −
 0 ()  = − [ ] = [ ] 


Die Zahlen  und  heißen untere bzw obere Grenzen des Integrals
4.10
R

 () 
Weitere Eigenschaften vom bestimmten Integral
Satz 4.10 (Linearität) Sind die Funktionen  und  integrierbar auf [ ], so ist
auch  +  integrierbar für alle   ∈ R und
Z 
Z 
Z 
( + )  = 
 + 

(4.37)



Beweis. Sei   . Sei  eine Zerlegung von [ ] und  eine Folge von Zwischenstellen von . Dann
 ( +   ) =

X
( + ) (  ) ∆
=0

X
= 
 (  ) ∆ + 
=0

X
 (  ) ∆
=0
=  (  ) +  (  ) 
Für  () → 0 konvergiert die rechte Seite gegen
Z 
Z 

 ()  + 
 () 


Somit ist  +  Riemann-integrierbar und (4.37) gilt.
Satz 4.11 (Partielle Integration im bestimmten Integral) Für stetig differenzierbare
Funktionen   auf einem Intervall [ ] gilt
Z 
Z 

 = [] −

(4.38)


4.10. WEITERE EIGENSCHAFTEN VOM BESTIMMTEN INTEGRAL
31
Beweis. Wir haben nach dem Produktregel
()0 =  0 + 0 
Daraus folgt, dass
Z

0
Z
Z



Nach dem Satz 4.9 gilt
Z


woraus (4.38) folgt.

  +
0 


Z 
Z 
=
 +

()  =
0

()0  = [] 
R
Beispiel. Bestimmen wir 0  cos  Da   =  , so erhalten wir nach (4.38)
mit  = cos  und  =  :
Z 
Z 



 cos  = [ cos ]0 −
  cos 
0
Z 0
= − − 1 +
 sin 
0
Z 

= − ( + 1) +
sin 
0
Z 



= − ( + 1) + [ sin ]0 −
 cos 
0
woraus folgt
Z

 + 1

2
0
R
Alternativ kann man zunächst das unbestimmte Integral  cos  berechnen und
erst danach die Newton-Leibniz-Formel anwenden.
 cos  = −
Satz 4.12 Sei   
() (Positivität) Ist  integrierbar auf [ ] und  ≥ 0, so gilt
Z 
 ≥ 0

() (Monotonie) Sind  und  integrierbar auf [ ] und  ≥ , so gilt
Z 
Z 
 ≥



Beweis. () Für nichtnegative Funktion  sind alle Riemann-Summen auch nichtnegativ, woraus die Aussage folgt.
() Nach dem Satz 4.10 und () gilt
Z 
Z 
Z 
Z 
  =
( − )  +
 ≥





32
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Korollar 4.13 Sei   . Ist  integrierbar auf [ ] so gilt
Z 
( − ) inf  ≤
 ≤ ( − ) sup 
[]
(4.39)
[]

Beweis. Sei  = sup[] . Dann  ≤  auf [ ], und nach dem Satz 4.12 erhalten
wir
Z 
Z 
  ≤
 =  ( − ) 


wobei wir auch (4.20) benutzt haben. Die untere Abschätzung wird analog bewiesen.
Korollar 4.14 Sei  eine stetige Funktion auf [ ]. Dann gilt
¯Z 
¯ Z 
¯
¯
¯ ¯ ≤
|| 
¯
¯

(4.40)

Beweis. Nach dem Satz 4.7 sind  und || integrierbar. Da
− || ≤  ≤ || 
so erhalten wir nach dem Satz 4.12
Z 
Z 
Z 
| |  ≤
  ≤
| | 
−



woraus (4.40) folgt.
Bemerkung. Es gilt eine stärkere Aussage: ist  auf [ ] integrierbar so ist | |
auch integrierbar und (4.40) gilt (siehe Aufgaben).
Satz 4.15 (Mittelwertsatz für Integration) Ist  stetig auf [ ], so existiert ein
 ∈ [ ] mit
Z 
 ()  =  () ( − ) 

Beweis. Der Fall  =  ist trivial. Betrachten wir den Fall    (und der Fall
   ist analog). Nach dem Satz 4.7 ist  integrierbar. Setzen wir
 = inf  und  = sup 
[]
[]
Nach dem Korollar 3.9 aus Analysis I (eine Folgerung aus dem Extremwertsatz und
Zwischenwertsatz) ist das Bild von  gleich das Intervall [ ]  Da nach (4.39)
Z 
1
 ∈ [ ] 
− 
so es gibt ein  ∈ [ ] mit
was zu beweisen war.
1
 () =
−
Z



4.10. WEITERE EIGENSCHAFTEN VOM BESTIMMTEN INTEGRAL
33
Satz 4.16 (Additivität) Sei  eine integrierbare Funktion auf einem Intervall [ ]
mit   . Dann, für jedes  ∈ ( ), ist  auf den Intervallen [ ] und [ ]
integrierbar und es gilt
Z 
Z 
Z 
  =
  +

(4.41)



Beweis. Seien  0 und  00 die Zerlegungen von [ ] bzw [ ]. Dann ist  =  0 ∪ 00
eine Zerlegung von [ ] und es gilt
 () = max ( ( 0 )   ( 00 ))
und
 ∗ ( ) =  ∗ (  0 ) +  (  00 ) 
(4.42)
Die gleiche Identität gilt für ∗ . Da  auf [ ] integrierbar, so haben wir
lim ( ∗ ( ) − ∗ ( )) = 0
()→0
(4.43)
Da
 ∗ ( ) − ∗ ( ) = ( ∗ (  0 ) − ∗ (  0 )) + ( ∗ (  00 ) − ∗ (  00 )) 
daraus folgt, dass
( ∗ (  0 ) − ∗ (  0 )) = 0 =
lim
0
( )→0
lim
( ∗ (  00 ) − ∗ (  00 )) 
00
( )→0
Somit ist  integrierbar auf [ ] und [ ]. Für  () → 0 erhalten wir aus (4.42)
lim  ∗ ( ) = lim
 ∗ (  0 ) +
0
()→0
( )→0
lim  ∗ (  00 ) 
( 00 )→0
Nach der Identität (4.22) aus dem Satz 4.5 erhalten wir (4.41).
Korollar 4.17 Sei  eine stetige Funktion auf einem Integral . Dann für alle
   ∈  gilt (4.41).
Diese Aussage gilt auch für integrierbaren Funktionen  .
Beweis. Für  =  oder  =  gilt (4.41) trivial nach (4.35). Für  =  ist (4.41)
äquivalent zu
Z
Z


 +
0=



was nach (4.36) gilt. Seien jetzt    verschieden. Dann gibt es 6 Fälle wie folgt:
1     
2.     
3.     
4.     
5.     
6.     
34
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Der Fall      gilt nach Satz 4.16. Im Fall      haben wir nach dem
Satz 4.16
Z 
Z 
Z 
  =
  +
 

woraus folgt
Z


  =
Z



  −
Z


  =


  +

Andere Fälle werden analog betrachtet.
4.11
Z
Z



Fundamentalsatz der Analysis, II
Hauptsatz 4.18 (Fundamentalsatz der Analysis Teil 2) Ist  eine stetige Funktion
auf einem Intervall  ⊂ R, so für jedes  ∈  ist die Funktion
Z 
 () 
 () =

eine Stammfunktion von . Insbesondere has jede stetige Funktion eine Stammfunktion.
R
Beweis. Da  stetig ist, so ist das Integral   ()  nach dem Satz 4.7 wohldefiniert.
Wir müssen beweisen, dass  0 () =  () für jedes  ∈ , d.h.
 () −  ()
=  () 
∈\{}
−
lim
→
Nach der Additivität des Integrals gilt
 () −  () =
=
Z

Z

=
Z

 ()  −

 ()  +
Z
Z



 () 

Nach dem Satz 4.15 gibt es ein  ∈ [ ] mit
 () −  ()
=  () 
−
Nach der Stetigkeit von  erhalten wir
 () →  () für  → 
woraus (4.44) folgt.
Die Sätze 4.9 und 4.18 ergeben folgendes.

 () 

 () 
(4.44)
4.12. SUBSTITUTIONSREGEL
35
Korollar 4.19 Für jede stetige Funktion  auf dem Intervall [ ] existiert eine
Stammfunktion  auf [ ] und es gilt
Z


 ()  =  () −  () 
Die Existenz der Stammfunktion auf dem ganzen Intervall [ ] ist wichtig. Hier
ist ein Gegenbeispiel, wie man falsches Ergebnis erhält:
Z
1
−1

=

∙Z


¸1
−1
= [ln ||]1−1 = 0
Warum ist diese Berechnung falsch? Die Stammfunktion ln || ist nicht auf dem
ganzen Intervall [−1 1] definiert wie die Newton-Leibniz-Formel anfordert, sondern
auf zwei disjunkten Intervallen (0 +∞) und (−∞ 0) Somit lässt diese Formel sich
R
nur dann anwenden wenn entweder [ ] ⊂ (0 ∞) oder
für Berechnung von  

[ ] ⊂ (−∞ 0) Darüber hinaus ist die Funktion 1 auf [−1 1] nicht Riemannintegrierbar, da diese Funktion nicht beschränkt ist.
4.12
Substitutionsregel
Hauptsatz 4.20 (Substitutionsregel im bestimmten Integral) Seien  eine stetig
differenzierbare Funktion auf einem Intervall  = [ ] und  eine stetige Funktion
auf dem Intervall  (). Dann gilt
Z

 ( ())  () =

Z
()
 () 
(4.45)
()
Beweis. Das Bild  () ist abgeschlossenes beschränktes Intervall (Theorem 3.8 from
Analysis I). Da  auf  () stetig ist, so hat  nach dem Satz 4.18 eine Stammfunktion
 auf diesem Intervall. Somit gilt nach der Newton-Leibniz-Formel
Z
()
()
()
 ()  = [ ]() =  ( ()) −  ( ()) 
Nach dem Kettenregel gilt
( ◦ )0 () =  0 ( ()) 0 () =  ( ()) 0 () 
(4.46)
und somit nach der Newton-Leibniz-Formel
Z 
Z 
 ( ())  () =
 ( ()) 0 ()  = [ ◦ ] =  ( ()) −  ( ()) 


(4.47)
Vergleichen von (4.46) und (4.47) beweist (4.45).
Der Satz 4.4 gilt auch für integrierbare Funktionen  , aber der Beweis in diesem
Fall ist deutlich komplizierter.
36
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Die Identität (4.45) lässt sich als eine Substitution  =  () im linken Integral
betrachten. Man stellt zuerst den Integrand im gegebenen Integral als  ( ()) 0 ()
dar. Danach ersetz man  () zwei mal durch  und die Grenzen  und  durch  ()
bzw  () (die Werte  () und  () sollen die Grenzen von dem Intervall  () nicht
unbedingt sein).
f(y)
u(a)
u(b)
y
u(I)
u(x)
I=[a,b]
a
b
x
Alternativ betrachtet man das rechte Integral
Z 
 () 

als gegeben und ersetzt die Variable  zwei mal mit einer Funktion  (). Man
bestimmt   aus der Gleichungen
 =  () 
und erhält
Z

 ()  =

Z
 =  ()

 ( ())  () 

R2
Beispiel. 1. Bestimmen wir 1 −1  Man versucht den Integrand −1 in der Form
 ( ())  () mit einer Funktion  () darzustellen, so dass  () eine einfachere
Funktion ist. Wir haben
Z 2
Z 2
Z 2

 

=
=






1  −1
1  ( − 1)
1  ( − 1)
Somit ergibt die Substitution  =  () := 
Z 2
Z (2)


=

1  −1
(1)  ( − 1)
¶
Z 2 µ
1
1
=
−

−1 

2
2
= [ln | − 1|] − [ln ||]
¡
¢
2 − 1
= ln
− 1 = ln ( + 1) − ln  = ln 1 + −1 
−1
4.13. LÄNGE VON KURVE
37
R1p
2. Bestimmen wir 0 1 −  2  mit Hilfe von einer Substitution  =  () we
folgt. Nehmen wir  = sin  auf [0 2] so dass  (0) = 0 und  (2) = 1 Dann
haben wir
 = cos 
und
Z
Z 1p
2
1 −   =
(2)
(0)
2
0
=
Z
0
=
Z
2
p
1 −  2 
p
1 − sin2  cos  
cos2  
0
Z
2
1 + cos 2

2
0
 1
=
+ [sin 2]2
0
4 4


=
4
=
Natürlich die gleiche Antwort erhält man mit Hilfe vom unbestimmten Integral
Z p
1 p
1
1 −  2  = arcsin  +  1 −  2 + 
2
2
und Newton-Leibniz-Formel.
4.13
Länge von Kurve
Wir betrachten hier die Abbildungen mit den Werten in R  Jedes  ∈ R is eine
Folge  = (1    ) von  reellen Zahlen, die die Komponenten von  sind. Für
jedes  ∈ R definieren wir die Norm (oder den Betrag) von  mit
q
kk = 21 + 22 +  + 2 
Die Norm kk ist eine offensichtliche Verallgemeinerung des Betrages in R und
C = R2 
Sei  ein Intervall on R. Jede Abbildung  :  → R hat  Komponenten
1 ()    (), so dass jedes  eine reellwertige Funktion von  ∈  ist. Wir
schreiben
 () = (1 ()    ()) 
Die Abbildung  heißt stetig falls alle Komponenten  () stetig ist, und stetig
differenzierbar falls alle Komponenten  () stetig differenzierbar sind. Im letzten
Fall definieren wir die Ableitung 0 von  mit
0 = (01   0 ) 
so dass 0 auch eine Abbildung von  nach R ist.
38
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Definition. Das Bild  =  () von einer stetigen Abbildung  :  → R heißt
Kurve und das Paar ( ) heißt Parametrisierung der Kurve . Man nennt das
Dreifache (  ) parametrisierte Kurve.
Betrachten wir  als ein Zeitintervall und  () als die Position von einem bewegenden Körper in R um Zeit . Die Kurve  () ist die Spur des Körpers. Die
Parametrisierung ( ) lässt sich als der Stundenplan des Körpers betrachten.
Definition. Sei  = [ ] ein beschränktes abgeschlossenes Intervall mit   . Für
die parametrisierte Kurve (  ) mit stetig differenzierbarer Abbildung  :  → R
definieren wir die Länge  (  ) mit
Z 
Z q
0
 (  ) =
k ()k  =
01 ()2 +  + 0 ()2 
(4.48)


Die Ableitung 0 () ist der Geschwindigkeitsvektor des Körpers und die Norm
k ()k ist die skalare Geschwindigkeit um Zeitpunkt . Die Integration von k0 ()k
über  ergibt den zurückgelegten Weg des Körpers im Zeitintervall , was die Länge
der Spur  () ist.
Beispiel. Betrachten wir die Parametrisierung
0
 : [0 1] → R2
 () = (1 − )  + 
mit zwei Punkten   ∈ R2  Das Bild  =  () ist eine gerade Strecke zwischen 
und . Dann gilt
1 = (1 − ) 1 + 1  2 = (1 − ) 2 + 2
und
01 = 1 − 1  02 = 2 − 2
und
Z 1q
q
2
2
=
(1 − 1 ) + (2 − 2 )  = (1 − 1 )2 + (2 − 2 )2 
0
Beispiel. Betrachten wir die Parametrisierung
 : [0 2] → R2
 () = ( cos   sin )
mit einem   0. Das Bild  =  () ist der Kreis von Radius . Da
0 = (− sin   cos )
und
k0 k =
so erhalten wir
p
2 sin2  + 2 cos2  = 
=
Z
0
2
 = 2
4.13. LÄNGE VON KURVE
39
Beispiel. Die Zykloide hat die Parametrisierung
 : [0 2] → R2
 () = ( − sin  1 − cos ) 
y
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
x
Zykloide
Dann gilt
q
√

k k = (1 − cos )2 + sin2  = 2 − 2 cos  = 2 sin 
2
0
Somit ist die Länge der Zykloide gleich
Z 2
Z 

=
2 sin  = 4
sin   = 8
2
0
0
Beispiel. Betrachten wir den Graph
Γ = {( ) :  ∈   =  ()}
einer Funktion  :  → R. Der Graph lässt sich betrachten als eine Kurve mit
Parametrisierung
 :  → R2
 () = (  ())
Sei  = [ ]. Ist  stetig differenzierbar, so erhalten wir
q
0
k k = 1 +  0 ()2
und somit
=
Z


q
1 +  0 ()2 
40
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Zum Beispiel, für den Graph der Parabel  = 12 2 auf [0 1] erhalten wir
∙
¸1
Z 1√
´ 1 √
³
√
1
 =
1 + 2  =
ln  + 2 + 1 +  2 + 1
2
2
0
0
√
³
´
√
2
1
ln 1 + 2 +

=
2
2
Satz 4.21 Seien   zwei abgeschlossene beschränkte Intervalle und  :  → R ,
 :  → R zwei stetig differenzierbare Abbildungen. Existiert eine monotone stetig
differenzierbare Funktion  :  →  mit  () =  und  =  ◦ , so bestimmen die
zwei Parametrisierungen ( ), ( ) die gleiche Kurve  =  () =  () und es
gilt
 (  ) =  (  ) 
Die Abbildungen   und  werden an dem folgenden Diagramm gezeigt:


R
%

−→
-

wobei  die Verkettung von  und  ist. Insbesondere gilt für jedes  ∈  dass
 () =  () mit  =  (); d.h. zwei bewegende Körper mit Stundenplänen ( )
bzw ( ) sich immer am gleichen Punkt befinden, aber um verschiedene Zeitpunkte
 und .
Beweis. Wir haben
 () = ( ◦ ) () =  ( ()) =  () 
was die erste Aussage ergibt.
Da  monoton ist, so gilt entweder  0 () ≥ 0 für alle  ∈  ( ist monoton
steigend) oder  0 () ≤ 0 für alle  ∈  ( ist monoton fallend). Betrachten wir den
Fall von monoton steigendem  (der Fall von fallendem  ist analog). Für jedes
 = 1   haben wir nach der Kettenregel
0 () =

( ( ())) = 0 ( ())  0 () 

woraus folgt
k0 ()k = k0 ( ())k | 0 ()| = k0 ( ())k  0 () 
wo wir  0 ≥ 0 benutzen.
Seien  = [ ] und  = [ ] mit    und   . Nach (4.48) haben wir
Z 
Z 
0
k ()k  =
k0 ( ())k  0 () 
 (  ) =


Da  () =  und  monoton steigend ist, so gelten  () =  und  () = . Mit
der Substitution  =  () erhalten wir
Z  ()
Z 
Z 
0
0
k ( ())k  () =
k ()k  =
k0 ()k  =  (  ) 
 (  ) =

 ()

4.13. LÄNGE VON KURVE
41
was zu beweisen war.
Beispiel. Betrachten wir den Halbkreis mit zwei Parametrisierungen:
 : [0 ] → R2
 () = (cos  sin )
und
 : [−1 1] → R2
√
 () = ( 1 − 2 )
Für die Funktion
 : [0 ] → [−1 1]
 () = cos 
erhalten wir
´
³
√
 ( ()) = cos  1 − cos2  =  () 
Somit sind die Längen von den beiden Parametrisierungen gleich. Da
 (  ) = 
somit erhalten wir auch
 (  ) = 
Da
kk =
so erhalten wir
s
¯³
´0 ¯¯2 r
¯ √
2
1
√
1 + ¯¯ 1 − 2 ¯¯ = 1 +
=

1 − 2
1 − 2
Z
1

√
= 
1 − 2
−1
Natürlich lässt dieses Integral sich auch direkt berechnen:
¸1
∙Z
Z 1


√
√
=
= [arcsin ]1−1 = 
2
2
1−
1 −  −1
−1
42
CHAPTER 4. INTEGRALRECHNUNG
Chapter 5
Konvergenz von Integralen und
Reihen
5.1
5.1.1
Uneigentliches Integral
Definition und Eigenschaften vom uneigentlichen Integral
R
Das Riemann-Integral   ()  ist immer für eine Funktion auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall [ ] definiert ist. In diesem Abschnitt wird diese Definition zu anderen Typen von Integralen erweitert.
Definition. Sei  eine Funktion auf einem Intervall . Die Funktion  heißt lokal
integrierbar auf  falls  auf jedem abgeschlossen beschränkten Intervall  ⊂ 
Riemann-integrierbar ist.
Es folgt aus dem Satz 4.7, dass alle stetige Funktionen und alle monotone Funktionen lokal integrierbar sind.
Definition. Sei  eine lokal integrierbare Funktion auf einem Intervall [ ) mit
−∞     ≤ +∞. Dann definieren wir das uneigentliche Riemann-Integral von
 mit
Z 
Z 
 ()  = lim
 () 
(5.1)

→−

vorausgesetzt, dass der Grenzwert existiert als Element von R. Die Notation
R   → −
bedeutet, dass    und  → ; insbesondere ist das Riemann-Integral   () 
wohldefiniert.
R
Ist der Grenzwert in (5.1) endlich, so sagt man, dass das Integral   ()  an
der Grenze  konvergiert.
Ist der Grenzwert unendlich, so sagt man, dass das Integral an der Grenze 
bestimmt divergiert.
Existiert der Grenzwert nicht, so sagt man, dass das
R  Integral an  unbestimmt
divergiert. Im letzten Fall ist der Wert des Ausdrucks   ()  nicht definiert.
Die Grenze  für das uneigentliche Integral (5.1) heißt kritisch.
43
44
CHAPTER 5. KONVERGENZ VON INTEGRALEN UND REIHEN
Definition. Im Fall wenn  auf dem Intervall ( ] mit −∞ ≤     +∞ lokal
integrierbar ist, wird das uneigentliche Integral analog definiert:
Z 
Z 
 ()  = lim
 () 
(5.2)
→+


vorausgesetzt, dass der Grenzwert existiert. Die Notation  → + bedeutet, dass
   und  → . Die Grenze  für das uneigentliche Integral (5.2) heißt kritisch.
Ist  auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall [ ] definiert und Riemannintegrierbar, so werden jetzt drei Begriffe von Integral für  definiert: eigentliches
(normales) Riemann-Integral, das uneigentliche Integral mit kritischer Grenze  und
das uneigentliche Integral mit kritischer Grenze .
Behauptung Ist  auf [ ] Riemann-integrierbar, so stimmen drei Werte von
R
 ()  überein.

Beweis. Markieren wir die kritische Grenze mit einem Punkt und zeigen, dass
Z 
Z 
Z •
 ()  =
 ()  =
 () 


•
R
Wir benutzen die Stetigkeit der Funktion  () =   () . Für die linke Identität
haben wir
Z 
Z 
Z •
 ()  = lim
 ()  = lim  () =  () =
 () 

→−
→−


und die rechte Identität wird analog bewiesen.
Beispiel.
Betrachten wir die Funktion  () =  auf [1 +∞) und das uneigentliche
R∞
Integral 1   Im Fall  6= −1 haben wir für jedes  ∈ (1 +∞)
∙Z
¸ ∙ +1 ¸
Z 

+1
1


  =
  =
=
−

+1 1 +1 +1
1
1
Im Fall   −1 so divergiert die rechte Seite gegen +∞ für  → +∞ Somit gilt in
diesem Fall
Z +∞
  = +∞ falls   −1
1
d.h. das Integral bestimmt divergent ist. Im Fall   −1 gilt +1 → 0 für  → +∞,
woraus folgt
Z +∞
1
falls   −1
  = −
+1
1
d.h. das Integral konvergent ist.
Im Fall  = −1 haben wir
Z 

= [ln ]1 = ln  → +∞ für  → +∞
1 
woraus folgt
Z
1
+∞
−1  = +∞
5.1. UNEIGENTLICHES INTEGRAL
Somit ist das Integral
 ≥ −1.
R +∞
1
45
  konvergent für   −1 und bestimmt divergent für
Beispiel. Betrachten wir das uneigentliche Integral
gilt
Z

0
R∞
0
sin  Für jedes 1    ∞
sin  = − [cos ]0 = 1 − cos 
Aber der Grenzwert lim→∞ cos  existiert nicht. Somit beschließen wir, dass
unbestimmt divergiert und keinen Wert hat.
R∞
0
sin 
Die Eigenschaften von eigentlichem Integral werden für uneigentliches Integral
einfach verallgemeinert. Dafür verallgemeinern wir die Notation [ ] zum Fall wenn
 auf [ ) definiert ist wie folgt:
[ ] =  (−) −  () 
wobei
 (−) := lim  () 
→−
vorausgesetzt, dass der Limes existiert, endlich oder unendlich.
Satz 5.1 (Newton-Leibniz-Formel für uneigentliches Integral) Seien  () eine stetige
Funktion auf [ ) mit −∞     ≤ +∞ und  ihre Stammfunktion auf [ ).
Dann gilt
Z


 ()  = [ ]
vorausgesetzt, dass mindestens eine von zwei Seiten wohldefiniert ist.
Beweis. Nach Definition von dem uneigentlichen Integral und Newton-LeibnizFormel für eigentliches Integral gilt
Z 
Z 
 ()  = lim
 ()  = lim ( () −  ()) = lim  () −  ()

→−
→−

=  (−) −  () =
[ ]
→−

Insbesondere sehen wir, dass der Grenzwert in der linken Seite genau dann existiert,
wenn der Grenzwert in der rechten Seite existiert.
Partielle Integration. Seien  und  stetig differenzierbare Funktion auf [ ).
Dann gilt
Z 
Z 

 = [] −

(5.3)


vorausgesetzt, dass die rechte Seite wohldefiniert ist, d.h. der Wert () (−) und
R
das uneigentliche Integral   existieren und deren Differenz wohldefiniert ist.
Beweis ist trivial: da die Funktionen   auf [ ] stetig differenzierbar für jedes
 ∈ ( ) sind, so gilt es nach dem Satz 4.3
Z 
Z 

 = [] −



46
CHAPTER 5. KONVERGENZ VON INTEGRALEN UND REIHEN
Für  → − erhalten wir (5.3).
Substitutionsregel. Sei  eine stetig differenzierbare Funktion auf einem Intervall
 = [ ) so dass der Wert  (−) existiert. Sei  eine stetige Funktion auf dem
Intervall  (). Dann gilt
Z

 ( ())  () =

Z
(−)
 () 
(5.4)
()
vorausgesetzt, dass mindestens eines von zwei uneigentlichen Integralen existiert.
In der Tat gilt für jedes  ∈ ( )
Z

 ( ())  () =

Z
()
 () 
()
Für  → − erhalten wir  () →  (−) und somit (5.4).
Analog formuliert und beweist man die weiteren Eigenschaften von Integral, wie
Linearität, Monotonie, Additivität.
Im Fall wenn die kritische Grenze  ist, d.h. man integriert über ( ], gelten
alle obigen Eigenschaften auch. Zum Beispiel, die Newton-Leibniz-Formel sieht so
aus: ist  auf ( ] stetig, dann für die Stammfunktion  von  gilt
Z


 ()  = [ ] =:  () −  (+) 
wobei
 (+) = lim  () 
→+
R1
Beispiel. 1. Bestimmen wir 0 √  Hier ist 0 die kritische Grenze. Nach NewtonLeibniz-Formel erhalten wir
∙Z
¸1
Z 1
£
¤1

−12
√ =

 = 212 0 = 2

0
0
Analog erhalten wir
Z
0
1

=

∙Z


¸1
0
= [ln ]10 = ln 1 − ln (0+) = +∞
R +∞
2. Bestimmen 1 −2 ln , wo die kritische Grenze +∞ ist. Wir erhalten
mit Hilfe von der partiellen Integration
∙
¸+∞ Z +∞
Z +∞
Z +∞
1
1
1
−2
 ln  = −
ln  = −
+
ln 
 ln 



1
1
1
1
∙Z
¸+∞
Z +∞
£ −1 ¤+∞
1
−2

=


=
−
 1 = − (0 − 1) = 1
=
2
1
1
wo wir benutzt haben, das
ln 

→ 0 für  → +∞.
5.1. UNEIGENTLICHES INTEGRAL
y
47
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
 = −2 ln 
R +∞
3. Bestimmen   ln12   wo die kritische Grenze +∞ ist. Mit Hilfe von
Substitution  =  () = ln  erhalten wir
Z +∞
Z +∞
1
 ln 
2  =
 ln 
ln2 


∙Z
¸+∞
Z (+∞)
£ −1 ¤+∞

−2
=

=
−
 1 = 1
=

2
()
1
Betrachten wir jetzt uneigentliches Integral mit beiden kritischen Grenzen.
Definition. Sei  eine lokal integrierbare Funktion auf einem Integral ( ) mit
R
−∞ ≤    ≤ +∞. Definieren wir das uneigentliche Integral   ()  mit
beiden kritischen Grenzen   mit
Z 
Z 
Z 
 ()  =
 ()  +
 () 
(5.5)



wobei  ∈ ( ), vorausgesetzt, dass die beiden Integrale in der rechten Seite existieren als uneigentliche Integrale mit einer kritischen Grenze und deren Summe
auch wohldefiniert ist.
R
Behauptung. Der Wert von   ()  in (5.5) ist unabhängig von der Wahl von
.
Beweis. Sei 0 noch ein Punkt in ( ). Wir haben dann
ÃZ
! µZ
¶
Z 
Z 0
Z 
Z 0


  +
  =
  +
 +
  +
 

0

=
Z

 +

=
Z


Z

 +


 +
Z

ÃZ



0
0
  +

Z

0
!

48
CHAPTER 5. KONVERGENZ VON INTEGRALEN UND REIHEN
Alle Eigenschaften von uneigentlichen Integralen gelten auch für den Fall von
zwei kritischen Grenzen. In diesem Fall wird die Notation [ ] noch weiter verallgemeinert wie folgt:
[ ] =  (−) −  (+) 
vorausgesetzt, dass die beiden Werte  (−) und  (+) existiert und deren Differenz auch wohldefiniert ist. Zum Beispiel, beweisen wir die Newton-Leibniz-Formel
in diesem Fall.
Satz 5.2 (Newton-Leibniz-Formel für uneigentliches Integral mit zwei kritischen
Grenzen) Seien  () eine stetige Funktion auf ( ) mit −∞ ≤    ≤ +∞ und
 eine Stammfunktion von  auch ( ). Dann gilt
Z 
 ()  = [ ] 

vorausgesetzt, dass mindestens eine von zwei Seiten wohldefiniert ist.
Beweis. In der Tat folgt es aus der Definition (5.5) und dem Satz 5.1, dass
Z 
Z 
Z 
 ()  =
 ()  +
 () 


[ ]

[ ]
+
=
=  () −  (+) +  (−) −  ()
= [ ] 
Beispiel. 1. Betrachten wir
Z
+∞
−∞
R +∞
−∞
 Die Newton-Leibniz-Formel ergibt
∙
2
 =
2
¸+∞
−∞
= +∞ − (+∞) 
was unbestimmter Ausdruck
nicht definiert.
R 1 ist. Somit ist das Integral
1
√
√
2. Bestimmen wir −1 1−2  Die Funktion 1−2 ist stetig auf (−1 1) aber nicht
an ±1 definiert, so dass die beiden Grenzen ±1 kritisch sind. Nach de NewtonLeibniz-Formel erhalten wir
¸1
∙Z
Z 1


 ³ ´
1
√
√
= 
=
= [arcsin ]−1 = − −
2
2
1 − 2
1 − 2 −1
−1
R 2
3. Betrachten wir −2 tan . Die Funktion tan  ist stetig auf (−2 2),
aber an ±2 ist nicht definiert (unendlich). Wir haben
Z 2
Z 2
Z 2
sin 
 cos 
2
tan  =
 = −
= − [ln |cos |]−2 = − (−∞ − (−∞)) 
cos

cos

−2
−2
−2
Wir haben benutzt, dass cos 2 = 0 and ln (0+) = −∞. Da die Differenz −∞ −
R 2
(−∞) nicht wohldefiniert ist, so existiert das Integral −2 tan  nicht.
5.1. UNEIGENTLICHES INTEGRAL
5.1.2
49
Konvergenzkriterien von uneigentlichen Integralen
Wir fangen mit der folgenden Beobachtung an.
Satz 5.3 Sei −∞ ≤    ≤ +∞. Ist  : ( ) → R nichtnegativ und lokal inteR
grierbar, so existiert das uneigentliche Integral   ()  mit dem Wert in [0 +∞]
R
an. Insbesondere ist   ()  genau dann konvergent, wenn
Z 
 ()   ∞

Beweis. Für ein  ∈ ( ) betrachten wir die Funktion
Z 
 () =
 () 

Die Funktion  () ist monoton steigend, da für    gilt
Z 
Z 
Z 
 () −  () =
 ()  −
 ()  =
 ()  ≥ 0



Somit existieren die Grenzwerte  (−) und  (+). Nach Definition gilt
Z 
Z 
Z 
 ()  =
 ()  +
 () 



Z 
Z 
= lim
 ()  + lim
 () 
→−
→+


=  (−) −  (+) 
De Differenz  (−) −  (+) ist wohldefiniert ist, da die Werte  (−) und  (+)
nicht gleichzeitig +∞ oder −∞ sein können, weil
 (−) ≤  () = 0 ≤  (+) 
Daraus auch folgt, dass  (+) −  (−) ∈ [0 +∞] und somit auch
[0 +∞]. Die zweite Aussage ist offensichtlich.
R

 ()  ∈
Erinnern wir unsPfür Vergleichen eine Eigenschaft von den Reihen: für jede
nichtnegative P
Reihe ∞
=1  ist ihre Summe immer wohldefiniert als Element von

ist
genau dann konvergent wenn
[0 +∞], und ∞
=1 
∞
X
  +∞
=1
Der folgende Satz etabliert eine direkte Beziehung zwischen Konvergenz von Reihen
und Integralen.
Satz 5.4 (Integralkriterium für Konvergenz von Reihen) Sei  () eine nichtnegative monoton fallende Funktion auf [1 +∞) Dann gilt die Äquivalenz
Z +∞
∞
X
 ()   ∞ ⇐⇒
 ()  ∞
1
=1
50
CHAPTER 5. KONVERGENZ VON INTEGRALEN UND REIHEN
R +∞
Beweis.
Da

nichtnegativ
und
lokal
integrierbar
ist,
so
nehmen
 ()  und
1
P∞
=1  () die Werte in [0 +∞] an. Wir beweisen, dass die beiden Werte gleichzeitig
entweder endlich oder unendlich sind. Fixieren wir ein  ≥ 2 und betrachten die
Zerlegung  = {1 2  } von Intervall [1 ]. Da  () monoton fallend ist, so gilt
auf jedem Intervall [ − 1 ] ⊂ [1 ]
sup  =  ( − 1) und
[−1]
inf  =  () 
[−1]
Somit sind die entsprechenden Darboux-Summen gleich
 ∗ ( ) =


X
X
( sup ) ( − ( − 1)) =
 ( − 1) =  (1) +  +  ( − 1) 
=2 [−1]
=2
und


X
X
∗ ( ) =
( inf ) ( − ( − 1)) =
 () =  (2) +  +  ()
=2
[−1]
=2
y
f(x)
S*(f,Z)
1
Da immer
Z
∗ ( ) ≤
so erhalten wir
 (2) +  +  () ≤
1
n
 ()  ≤  ∗ ( ) 

 ()  ≤  (1) +  +  ( − 1) 
Für  → ∞ ergibt diese Ungleichung, dass
Z ∞
∞
∞
X
X
 () −  (1) ≤
 ()  ≤
 () 
=1
Somit ist
R∞
x

1
Z
n-1
k
k-1
2
1
(5.6)
=1
P∞
 ()  genau dann endlich wenn =1  ()  ∞.
P
1
Beispiel. Zeigen wir, dass die Reihe © ∞
=1
ª  genau dann konvergiert, wenn   1.
1
Im Fall  ≤ 0 konvergiert die Folge  gegen 0 nicht, und somit ist die Reihe
1
5.1. UNEIGENTLICHES INTEGRAL
51
divergent. Im Fall   0 ist dieP
Funktion  () = 1 monoton fallend auf [1 +∞).
1
Nach dem Satz 5.4 konvergiert ∞
=1  genau dann, wenn
Z
+∞
1

 ∞

(5.7)
und das letzte ist der Fall genau dann wenn   1
Definition. Sei  eine lokal integrierbare Funktion auf ( ). Das Integral
R
heißt absolut konvergent, falls  | ()|  konvergent ist, d.h.
Z
R

 () 


| ()|   +∞
Bemerken wir, dass | | auch lokal integrierbar ist (siehe Aufgaben). Da || ≥ 0,
R
so existiert das Integral  | ()|  nach dem Satz 5.3.
R
Satz 5.5 Ist das Intervall   ()  absolut konvergent, so ist es auch konvergent
und es gilt
¯Z 
¯ Z 
¯
¯
¯  () ¯ ≤
| ()| 
¯
¯


Beweis. Wählen wir ein  ∈ ( ) und setzen
Z
Z 
 ()  und  () =
 () =



| ()| 
Die beiden Grenzwerte  (+) und  (−) existieren und sind endlich, da
Z

| ()|  =

Z
Z


| ()|  +


| ()|  =  (−) −  (+)
(wie im Beweis von Satz 5.3). Beweisen wir dass auch der Grenzwert  (−) existiert
und endlich ist. Es reicht zu zeigen, dass für jede Folge  → − die Folge { ( )}
konvergiert, d.h. { ( )} eine Cauchy-Folge ist. In der Tat für    erhalten
wir
¯Z 
¯ ¯Z 
¯
Z 
¯
¯ ¯
¯
 ()  −
 () ¯¯ = ¯¯
 () ¯¯
| ( ) −  ( )| = ¯¯


Z 
≤
| ()|  =  ( ) −  ( ) 

Nach der Voraussetzung gilt  ( )− ( ) → 0, woraus auch | ( ) −  ( )| →
0 folgt. Somit existiert der Grenzwert  (−) und er ist endlich. Gleiches gilt für
 (+)  woraus folgt, dass das Integral
Z


 ()  =
Z


 ()  +
Z


 ()  = − (+) +  (−)
52
CHAPTER 5. KONVERGENZ VON INTEGRALEN UND REIHEN
konvergiert.
Definition. Seien  () und  () zwei Funktion auf ( ), die nicht verschwinden.
Gilt
 ()
lim
= 1
→  ()
so sagen wir, dass  () äquivalent zu  () für  →  ist und schreiben
 () ∼  () für  → 
Behauptung. Die Relation  ∼  für  →  ist eine Äquivalenzrelation.
Beweis. Offensichtlich  ∼  und  ∼  ergibt  ∼  . Gelten  ∼  und  ∼  so
gilt auch  ∼  da


=



Behauptung Gelten 1 ∼ 1 und 2 ∼ 2 so gelten auch 1 2 ∼ 1 2 und
1
2
∼
Beispiel. 1. sin  ∼  für  → 0 da sin  → 1 für  → 0
2. Es gilt
2 +  ∼ 2 für  → +∞
da
2 + 
1
= 1 + → 1 für  → +∞
2


Andererseits,
2 +  ∼  für  → 0
da
2 + 
=  + 1 → 1 für  → 0

Erinnern wir uns an Landau-Symbol :
 ()
= 0
→  ()
 () =  ( ()) für  →  falls lim
Es gilt  ∼  genau dann when  () =  () +  ( ()) da

 −
=1+


und  → 1 genau dann, wenn  −  =  () 
Definieren wie das andere Landau-Symbol 
Definition. Seien   zwei Funktionen auf ( ) und  ()  0 Wir schreiben
 () =  ( ()) für  → 
1

2
5.1. UNEIGENTLICHES INTEGRAL
53
und sagen “ () ist groß  von  () für  → ” falls | ()| ≤  () for alle
 ∈ ( ) gilt, mit einer Konstante  und einem  ∈ ( )  Äquivalente Definition:
 () =  ( ()) für  →  falls lim sup
→
| ()|
 +∞
 ()
Die Äquivalenz  ∼  ergibt offensichtlich  =  () 
Satz 5.6 (Vergleichskriterium) Seien  () und  () lokal integrierbare Funktionen
auf [ ) und  ()  0.
R
() Gelten  () =  ( ()) für  →  und   ()   ∞ so ist das Integral
R
 ()  absolut konvergent.

R
R
() Gilt  () ∼  () für  →  so sind die Integrale   ()  und   () 
gleichzeitig konvergent bzw divergent.
Beweis. () Nach Voraussetzung  () =  ( ()) für  →  existieren   0 and
 ∈ ( ) mit
| ()| ≤  () für alle  ≤   
(5.8)
Schreiben wir
Z




| ()|  +
Z

| ()| 
R
Die Funktion  ist auf [ ] integrierbar, so dass das Integral  | ()|  eigentlich
ist. Nach (5.8) lässt das zweite Integral sich wie folgt abschätzen:
Z 
Z 
| ()|  ≤ 
 ()   +∞

| ()|  =
Z


R
R
Daraus folgt  | ()|   ∞ d.h.   ()  konvergiert absolut.
() Die Relation  () ∼  () ergibt  () =  ( ()) und somit nach ()
Z 
Z 
 ()   +∞ =⇒
 ()   +∞


Die Implikation in die umgekehrte Richtung folgt von  ∼ .
R +∞ √
Beispiel. 1. Untersuchen wir die Konvergenz von 1 √1+
4 . Wir haben
√
√
√



= √
 () = √
∼ 2 = −32 für  → +∞

1 + 4
2 −4 + 1
d.h.  () ∼ −32 für  → +∞. Da
Z +∞
−32   +∞
1
so beschließen wir nach dem Satz 5.6, dass
Z +∞ √

√
 +∞
1 + 4
1
54
CHAPTER 5. KONVERGENZ VON INTEGRALEN UND REIHEN
2. Untersuchen wir die Konvergenz von
R +∞ sin 
1
2
. Da
¡ −2 ¢
sin 
=


für  → +∞
2
R∞
R∞ 
und 1 −2   +∞, so ist das Integral 1 sin
 absolut konvergent.
2
3. Untersuchen wir die Konvergenz von
Z 

√
cos  − cos 
0
(5.9)
wobei 0    2. Die kritische Grenze ist . Nach Differenzierbarkeit von cos 
folgt es, dass für  → 
cos  − cos  = − (sin ) ( − ) +  ( − ) ∼ (sin ) ( − ) 
woraus folgt
Da
Z
1
1
√
für  → 
∼√
√
cos  − cos 
sin   − 
0


√
=
−
Z
0

√

√ 
√ = [2 ]0 = 2   ∞

so beschließen wir, dass das Integral (5.9) absolut konvergent ist.
5.1.3
Bedingte Konvergenz
Definition. Sei  eine lokal integrierbare Funktion auf einem Intervall ( ). Das
R
uneigentliche Integral   ()  heißt bedingt konvergent falls es konvergent aber
nicht absolut konvergent ist.
Der nächste Satz liefert zwei Kriterien für Konvergenz ohne absolute Konvergenz
zu benutzen.
Satz 5.7 Sei  () eine stetige Funktion auf [ +∞) und  () eine stetig differenzierbare monotone Funktion [ +∞) Das Integral
Z ∞
 ()  () 

konvergiert unter jeder von zwei folgenden Bedingungen:
R∞
() (Abel-Kriterium) Integral   ()  ist konvergent und  () ist beschränkt.
R
() (Dirichlet-Kriterium) Die Stammfunktion  () =   ()  ist auf [ ∞)
beschränkt und  () → 0 für  → +∞
Beweis. Partielle Integration ergibt
Z ∞
Z ∞
Z
∞
 ()  ()  =
 ()  () = [ ] −



∞
 ()  0 () 
(5.10)
5.1. UNEIGENTLICHES INTEGRAL
55
Wir zeigen, dass die beiden Glieder am rechts endlich sind.
R∞
Beweisen wir zunächst, dass das   ()  0 ()  absolut konvergent ist. In den
beiden Fällen () und () ist die Funktion  beschränkt.R Im Fall () ist es Vorausset∞
zung, während im Fall () ergibt die Konvergenz von  , dass lim→+∞  ()
existiert und ist endlich, woraus folgt, dass  beschränkt ist. Sei  eine Konstante
mit | ()| ≤  für alle  ∈ [ ∞) Dann gilt
Z
∞
0
| ()  ()|  ≤ 

Z
∞

| 0 ()| 
In den beiden Fällen existiert lim→∞  () und ist endlich. Im Fall () ist es Voraussetzung, während im Fall () folgt es aus der Monotonie und Beschränktheit von .
Die Monotonie ergibt auch, dass entweder immer  0 () ≥ 0 oder immer  0 () ≤ 0.
Angenommen  0 () ≥ 0, so erhalten wir
Z

∞
0
| ()|  =
Z
∞

0 ()  = []+∞
= lim  () −  ()  +∞

→+∞
was die absolute Konvergenz von dem Integral in der rechten Seite von (5.10) beweist
.
Um zu beweisen, dass der Ausdruck [ ]+∞
endlich ist, betrachten wir die zwei

Fälle separat.
() In diesem Fall existiert endlicher lim→+∞  (). Da lim→+∞  () auch
existiert und endlich ist, so ist [ ]+∞
wohldefiniert und endlich.

() Da  () beschränkt ist und  () → 0 für  → +∞, so gilt  ()  () → 0
wieder wohldefiniert ist.
für  → +∞ so dass [ ]+∞

R∞
Beispiel. 1. Zeigen wir, dass das Integral 1 sin   konvergent ist. Dafür betrachten wir die Funktionen  () = sin  und  () = −1 . Die Stammfunktion
 () =
Z

 ()  =

Z


sin  = − cos  + cos 
ist offensichtlich beschränkt,
 () & 0 für  → +∞. Nach dem DirichletR ∞während
sin 
Kriterium ist das Integral 1   konvergent.
R∞
Das Integral 0 sin   heißt Dirichlet-Integral. Es ist auch konvergent, da die
Funktion sin  den Grenzwert 1 für  → 0 hat und somit ist auf [0 1] integrierbar.
Es ist möglich zu beweisen, dass
Z
0
∞
1
sin 
 = 

2
56
CHAPTER 5. KONVERGENZ VON INTEGRALEN UND REIHEN
1.2
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-0.2
Die Funktionen
Zeigen wir, dass
y
R∞
1
sin 

sin 

x
und 1 :
bedingt konvergent ist, d.h.
Z ∞
|sin |
 = +∞

1
(5.11)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
Die Funktion
12
14
16
18
|sin |

Die Nullstellen von sin  auf [1 ∞) sind  =  für  ∈ N. Wir haben
Z +1
Z +1
|sin |
1
|sin | 
 ≥

+1 

¯Z
¯
¯
1 ¯¯ +1
¯
sin

≥
¯
+1 ¯ 
¯
1 ¯¯
¯
=
[cos ]+1

+1
2
=

 ( + 1)
woraus folgt
Z
1
∞
X
|sin |
 ≥

=1
∞
Z
+1

X
|sin |
2
 ≥
= ∞


(
+
1)
=1
∞
20
x
5.2. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ
57
d.h. (5.11).
R∞
2. Zeigen wir, dass 1 sin  arctan  konvergiert. Setzen wir  () = sin  und
R () = arctan . Die Funktion  ist beschränkt und monoton steigend, während
+∞
 ()  wie oberhalb konvergiert. Nach dem Abel-Kriterium ist das gegebene
1
Integral konvergent.
5.2
5.2.1
Gleichmäßige Konvergenz
Funktionenfolgen
Sei  eine beliebige Menge. Sei { }∞
=1 eine Folge von reellwertigen (oder komplexwertigen) Funktionen auf . Man sagt, dass { } gegen eine Funktion  punktweis
auf  konvergiert falls für jedes  ∈  gilt  () →  () für  → ∞, d.h.
∀ ∈ 
| () −  ()| → 0 für  → ∞
Die punktweise Konvergenz bezeichnet man mit  →  .
Für jede Funktion  :  → R definieren wir die sup-Norm von  mit
k k = kk := sup | ()| 
∈
Man sagt, dass { } gegen  gleichmässig auf  konvergiert, falls
k −  k → 0 für  → ∞
Die gleichmäßige Konvergenz bezeichnet man mit  ⇒  . Die gleichmäßige Konvergenz ist offensichtlich eine stärkere Bedingung als die punktweise Konvergenz, da
sie äquivalent zu
sup | −  | → 0

ist, was impliziert | () −  ()| → 0 für jedes  ∈ 
Die Umkehrung gilt nicht: es gibt punktweis konvergente Folgen die nicht gleichmäßig konvergent sind.
Beispiel. 1. Betrachten wir die Funktionen  () =  auf  = (0 +∞). Für jedes
 ∈  gilt offensichtlich  () → 0 für  → ∞ so dass  → 0, aber  6⇒ 0 da
k k = ∞.
2. Ein komplizierteres Beispiel zeigt gleiches auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall. Betrachten wir auf  = [0 1] die Funktionen
⎧
0 ≤  ≤ 1
⎨ 
2 −  1 ≤  ≤ 2 
 () =
⎩
2
0
≤  ≤ 1

58
CHAPTER 5. KONVERGENZ VON INTEGRALEN UND REIHEN
y
1
0
1/k
2/k
1 x
Der Graph von  für  = 5
Zeigen wir, dass  → 0, d.h. für jedes  ∈ [0 1] gilt  () → 0. Für  = 0 ist es
offensichtlich, da  (0) = 0. Für   0 gilt   2 für hinreichend große , woraus
 () = 0 folgt. Andererseits, da k k = 1, so sehen wir, dass  6⇒ 0
Die gleichmäßige Konvergenz ist wichtig da sie die Stetigkeit von Funktionen
bewahrt.
Satz 5.8 Sei { } eine Folge von stetigen Funktionen auf einem Intervall  ⊂ R.
Gilt  ⇒  auf  so ist  auch stetig auf .
Beweis. Es reicht zu beweisen, dass  auf jedem beschränkten abgeschlossenen
Teilintervall  ⊂  stetig ist. Da k −  k → 0 für  → ∞, so für jedes   0
existiert  ∈ N mit k − k  3, woraus folgt, dass
∀ ∈ 
| () −  ()|  3
Die Funktion  ist auf  gleichmäßig stetig (Lemma 4.8), so dass für  wie oberhalb
∃  0 ∀  ∈  mit | − |   gilt | () −  ()|  3
Es folgt, dass für alle   ∈  mit | − |   gilt
| () −  ()| ≤ | () −  ()| + | () −  ()| + | () −  ()|
 3 + 3 + 3 = 
was beweist, dass  auf  gleichmäßig stetig ist.
Beispiel. Die punktweise Konvergenz bewahrt die Stetigkeit nicht. Betrachten wir
zum Beispiel die Funktionen
 () =
½
1 −  0 ≤  ≤ 1 
1
0
≤  ≤ 1

5.2. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ
59
y
1
0
1/k
1 x
Der Graph von  für  = 5
Offensichtlich ist  stetig auf [0 1]. Für  → ∞ erhalten wir  () → 0 für
  0 und  (0) → 1, d.h.  →  mit
½
1  = 0
 () =
0 0   ≤ 1
Es ist klar, dass  unstetig an 0 ist.
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
11
Dateigröße
480 KB
Tags
1/--Seiten
melden